Mehanski sistem, ki ga sestavlja materialna točka (telo), ki visi na neraztegljivi breztežnostni niti (njena masa je v primerjavi s težo telesa zanemarljiva) v enotnem gravitacijskem polju, se imenuje matematično nihalo (drugo ime je oscilator). Obstajajo še druge vrste te naprave. Namesto niti lahko uporabimo breztežno palico. Matematično nihalo lahko jasno razkrije bistvo mnogih zanimivih pojavov. Kadar je amplituda nihanja majhna, se njegovo gibanje imenuje harmonično.
Pregled mehanskega sistema
Formulo za obdobje nihanja tega nihala je izpeljal nizozemski znanstvenik Huygens (1629-1695). Ta sodobnik I. Newtona je bil zelo zainteresiran za ta mehanski sistem. Leta 1656 je ustvaril prvo uro z nihalnim mehanizmom. Čas so merili za tiste čase izjemno natančno. Ta izum je postal pomembna faza v razvoju fizičnih poskusov in praktičnih dejavnosti.
Če je nihalo v ravnotežnem položaju (visi navpično), ga uravnoteži natezna sila niti. Ploščato nihalo na neraztegljivi niti je sistem z dvema prostostnima stopnjama s sklopko. Ko spremenite samo eno komponento, se spremenijo lastnosti vseh njenih delov. Torej, če nit zamenjamo s palico, bo ta mehanski sistem imel samo 1 stopnjo svobode. Kakšne lastnosti ima matematično nihalo? V tem najpreprostejšem sistemu nastane kaos pod vplivom periodičnih motenj. V primeru, ko se točka vzmetenja ne premika, ampak niha, ima nihalo nov ravnotežni položaj. S hitrim nihanjem navzgor in navzdol ta mehanski sistem pridobi stabilen položaj "na glavo". Ima tudi svoje ime. Imenuje se Kapitsovo nihalo.
Lastnosti nihala
Matematično nihalo ima zelo zanimive lastnosti. Vse potrjujejo znani fizikalni zakoni. Obdobje nihanja katerega koli drugega nihala je odvisno od različnih okoliščin, kot so velikost in oblika telesa, razdalja med točko obešanja in težiščem ter porazdelitev mase glede na to točko. Zato je določitev dobe visenja telesa precej težka naloga. Veliko lažje je izračunati obdobje matematičnega nihala, katerega formula bo podana spodaj. Kot rezultat opazovanja podobnih mehanskih sistemov je mogoče ugotoviti naslednje vzorce:
Če ob enaki dolžini nihala obesimo različne uteži, bo obdobje njihovega nihanja enako, čeprav se bodo njihove mase zelo razlikovale. Posledično obdobje takega nihala ni odvisno od mase bremena.
Če se pri zagonu sistema nihalo odkloni pod ne prevelikimi, ampak različnimi koti, bo začelo nihati z enakim obdobjem, vendar z različnimi amplitudami. Dokler odstopanja od središča ravnovesja niso prevelika, bodo nihanja po obliki precej blizu harmoničnim. Perioda takega nihala ni v ničemer odvisna od nihajne amplitude. Ta lastnost danega mehanskega sistema se imenuje izohronizem (v prevodu iz grščine "chronos" - čas, "isos" - enak).
Perioda matematičnega nihala
Ta indikator predstavlja obdobje Kljub zapleteni formulaciji je sam proces zelo preprost. Če je dolžina niti matematičnega nihala L, pospešek prostega pada pa g, potem je ta vrednost enaka:
Perioda majhnih lastnih nihanj ni v ničemer odvisna od mase nihala in amplitude nihanj. V tem primeru se nihalo giblje kot matematično z določeno dolžino.
Nihanje matematičnega nihala
Matematično nihalo niha, kar lahko opišemo s preprosto diferencialno enačbo:
x + ω2 sin x = 0,
kjer je x (t) neznana funkcija (to je kot odstopanja od spodnjega ravnotežnega položaja v trenutku t, izražen v radianih); ω je pozitivna konstanta, ki je določena iz parametrov nihala (ω = √g/L, kjer je g gravitacijski pospešek, L pa dolžina matematičnega nihala (vzmetenja).
Enačba za majhne vibracije blizu ravnotežnega položaja (harmonična enačba) izgleda takole:
x + ω2 sin x = 0
Nihajna gibanja nihala
Matematično nihalo, ki dela majhne nihaje, se giblje vzdolž sinusoide. Diferencialna enačba drugega reda izpolnjuje vse zahteve in parametre takega gibanja. Za določitev trajektorije je potrebno nastaviti hitrost in koordinato, iz katerih se nato določijo neodvisne konstante:
x = A sin (θ 0 + ωt),
kjer je θ 0 začetna faza, A je amplituda nihanja, ω je ciklična frekvenca, določena iz enačbe gibanja.
Matematično nihalo (formule za velike amplitude)
Ta mehanski sistem, ki niha z veliko amplitudo, je podvržen bolj zapletenim zakonom gibanja. Za takšno nihalo se izračunajo po formuli:
sin x/2 = u * sn(ωt/u),
kjer je sn Jacobijev sinus, ki za u< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:
u = (ε + ω2)/2ω2,
kjer je ε = E/mL2 (mL2 je energija nihala).
Obdobje nihanja nelinearnega nihala se določi po formuli:
kjer je Ω = π/2 * ω/2K(u), K eliptični integral, π - 3,14.
Gibanje nihala po separatrisi
Separatrix je tirnica dinamičnega sistema, ki ima dvodimenzionalni fazni prostor. Vzdolž njega se giblje matematično nihalo neperiodično. V neskončno oddaljenem trenutku pade z najvišjega položaja na stran z ničelno hitrostjo, nato pa jo postopoma pridobiva. Sčasoma se ustavi in se vrne v prvotni položaj.
Če se amplituda nihanja nihala približa številu π , to pomeni, da se gibanje na fazni ravnini približuje separatrisi. V tem primeru se mehanski sistem pod vplivom majhne pogonske periodične sile obnaša kaotično.
Ko matematično nihalo odstopi od ravnotežnega položaja za določen kot φ, nastane tangencialna gravitacijska sila Fτ = -mg sin φ. Predznak minus pomeni, da je ta tangencialna komponenta usmerjena v smeri, ki je nasprotna odklonu nihala. Če z x označimo premik nihala vzdolž krožnega loka s polmerom L, je njegov kotni premik enak φ = x/L. Drugi zakon, namenjen projekcijam in sili, bo dal želeno vrednost:
mg τ = Fτ = -mg sin x/L
Na podlagi tega razmerja je jasno, da je to nihalo nelinearen sistem, saj je sila, ki stremi k vrnitvi v ravnotežni položaj, vedno sorazmerna ne s premikom x, ampak s sin x/L.
Samo takrat, ko matematično nihalo izvaja majhna nihanja, je harmonični oscilator. Z drugimi besedami, postane mehanski sistem, ki je sposoben izvajati harmonična nihanja. Ta približek je praktično veljaven za kote 15-20°. Nihanja nihala z velikimi amplitudami niso harmonična.
Newtonov zakon za majhna nihanja nihala
Če dani mehanski sistem izvaja majhna nihanja, bo Newtonov 2. zakon videti takole:
mg τ = Fτ = -m* g/L* x.
Na podlagi tega lahko sklepamo, da je matematično nihalo sorazmerno s svojim premikom s predznakom minus. To je stanje, zaradi katerega sistem postane harmonični oscilator. Modul sorazmernega koeficienta med premikom in pospeškom je enak kvadratu krožne frekvence:
ω02 = g/l; ω0 = √ g/l.
Ta formula odraža lastno frekvenco majhnih nihanj te vrste nihala. Na podlagi tega,
T = 2π/ ω0 = 2π√ g/L.
Izračuni na podlagi zakona o ohranitvi energije
Lastnosti nihala lahko opišemo tudi z zakonom o ohranitvi energije. Upoštevati je treba, da je nihalo v gravitacijskem polju enako:
E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2
Skupaj je enak kinetičnemu ali največjemu potencialu: Epmax = Ekmsx = E
Ko je zakon o ohranitvi energije napisan, vzemite odvod desne in leve strani enačbe:
Ker je odvod konstantnih količin enak 0, potem je (Ep + Ek)" = 0. Odvod vsote je enak vsoti odvodov:
Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x" = mg/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2* 2v*v" = mv* α,
torej:
Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + m α) = 0.
Na podlagi zadnje formule ugotovimo: α = - g/L*x.
Praktična uporaba matematičnega nihala
Pospešek se spreminja glede na zemljepisno širino, ker gostota zemeljske skorje ni enaka po vsem planetu. Tam, kjer se pojavljajo kamnine z večjo gostoto, bo nekoliko višja. Pospešek matematičnega nihala se pogosto uporablja za geološka raziskovanja. Uporablja se za iskanje različnih mineralov. Preprosto s štetjem števila nihanj nihala lahko odkrijete premog ali rudo v črevesju Zemlje. To je posledica dejstva, da imajo takšni fosili večjo gostoto in maso od spodaj ležečih kamnin.
Matematično nihalo so uporabljali tako izjemni znanstveniki, kot so Sokrat, Aristotel, Platon, Plutarh, Arhimed. Mnogi od njih so verjeli, da lahko ta mehanski sistem vpliva na usodo in življenje osebe. Arhimed je pri svojih izračunih uporabil matematično nihalo. Dandanes mnogi okultisti in jasnovidci uporabljajo ta mehanični sistem za izpolnjevanje svojih prerokb ali iskanje pogrešanih ljudi.
Znani francoski astronom in naravoslovec K. Flammarion je za svoje raziskave uporabljal tudi matematično nihalo. Trdil je, da je z njegovo pomočjo lahko napovedal odkritje novega planeta, pojav Tunguškega meteorita in druge pomembne dogodke. Med drugo svetovno vojno je v Nemčiji (Berlin) deloval specializiran Inštitut za nihalo. Danes se s podobnimi raziskavami ukvarja Münchenski inštitut za parapsihologijo. Zaposleni v tej ustanovi svoje delo z nihalom imenujejo »radiestezija«.
vendar ne verjemite Ovitek. Pozorno preberite vse te članke. Takrat bo postalo jasno kot bleščeče sonce.
Tako kot roka in možgani vseh ljudi nimajo skrivnostne moči, tudi nihalo v rokah vseh ljudi ne more postati skrivnostno. Ta moč se ne pridobi, ampak se rodi s človekom. V eni družini se eden rodi bogat, drugi pa reven. Nihče nima moči, da bi naravno bogate naredil revne ali obratno. Zdaj razumete, kaj sem vam hotel povedati. Če ne razumete, krivite sebe, takšni ste se rodili.
Kaj je nihalo? Iz česa je narejeno? Nihalo je vsako prosto gibajoče se telo, pritrjeno na vrvico. V rokah mojstra tudi preprosta trst poje kot slavček. Tudi v rokah nadarjenega biomajstra nihalo naredi neverjetne učinke na področju človekovega bivanja in bivanja.
Ne zgodi se vedno, da nosite nihalo s seboj. Tako sem moral najti izgubljeni prstan ene družine, a nihala nisem imel s seboj. Pogledal sem naokoli in v oči mi je padel vinski zamašek. Približno na sredini zamaška sem z nožem naredila majhen rez in pritrdila nit. Nihalo je pripravljeno.
Vprašal sem ga: "Ali boš delal z mano pošteno?" Močno se je vrtel v smeri urinega kazalca, kot bi se veselo odzival. Miselno mu dajte vedeti: "Potem poiščimo manjkajoči prstan." Nihalo se je spet premaknilo v znak strinjanja. Začel sem hoditi po dvorišču.
Ker je snaha rekla, da še ni stopila v hišo, ko je opazila, da na prstu nima prstana. Povedala je tudi, da si je že dolgo želela k draguljarju, saj so se njeni prsti stanjšali in prstan je začel odpadati. Nenadoma se je v mojih rokah nihalo malo premaknilo, obrnilo malo nazaj, nihalo je utihnilo. Pomaknil sem se naprej, a se je nihalo spet premaknilo. Šel je naprej, spet utihnil, začudena sem bila. Levo nihalo molči, naprej molči. Na desno ne gre nikamor. Tam teče majhen jarek. Nenadoma sem se zavedel in držal nihalo neposredno nad vodo. Nihalo se je začelo intenzivno vrteti v smeri urinega kazalca. Poklicala sem snaho in mi pokazala lokacijo prstana.
Z veseljem v očeh je začela brskati po jarku in hitro našla prstan. Izkazalo se je, da si je umivala roke v jarku in takrat ji je padel prstan, a tega ni opazila. Vsi prisotni so občudovali delo vinskega zamaška.
Niso vsi ljudje rojeni vedeževalci ali vedeževalci. Niso vsi vedeževalci ali vedeževalke uspešni. Nekaj napovedovalcev deluje z manjšimi napakami, mnogi pa goljufajo kot cigani. Tako je tudi z nihalom. Nesposoben človek ga ima za nekoristno stvar, čeprav je iz zlata, nima pomena. V rokah pravega mojstra naredi čudeže že kos navadnega kamna ali oreha.
Spominjam se kot včeraj. Na nekem druženju sem slekel jakno in šel za nekaj časa ven. Ko sem se vrnil, sem čutil, da je nekaj narobe v mojem srcu. Mehansko je začel brskati po žepu. Izkazalo se je, da mi je nekdo vzel srebrno nihalo. Utihnila sem in nikomur nisem povedala, kaj se je zgodilo.
Minilo je veliko dni in nekega dne je eden od tistih ljudi, ki so sedeli z nami na tistem srečanju, kjer se je izgubilo moje nihalo, prišel k meni domov. Globoko se je opravičil in mi izročil nihalo. Izkazalo se je, da je mislil, da je vsa moč na mojem nihalu in mislil, da mu bo tudi to nihalo delalo tako kot moje.
Ko je spoznal svojo zmoto, ga je dolgo mučila vest in na koncu se je odločil, da bo nihalo vrnil lastniku. Sprejela sem njegovo opravičilo in ga tudi pogostila s čajem ter mu celo postavila diagnozo. Z nihalom sem pri njem našel mnogo bolezni in mu pripravil ustrezna zdravila.
Nekateri ljudje imajo naravni dar za zdravljenje in vedeževanje. Ta talent se leta ne pokaže. Včasih po naključju naletijo na strokovnjaka, ki mu pokaže usojeno pot v življenju.
Pred kratkim je ženska srednjih let prišla na diagnozo. Po videzu se ne vidi, da je bolna. Tožila je o visoki toploti v okončinah, toplota ji je nenehno prihajala iz dlani in podplatov, pogosto je čutila divje razpokajoče bolečine v glavi v predelu temena. Ko sem ga najprej diagnosticiral s pulzom, ko sem opazil povečan žilni tonus, sem začel meriti krvni tlak s polavtomatsko napravo. Vrednosti so sčasoma presegle lestvico, tako sistolične kot diastolične. Navedli so od 135 do 241, srčni utrip pa je bil pod normo za takšno hipertenzijo: 62 utripov na minuto. Ženska s tako visokim pritiskom je mirno sedela pred menoj. Kot da ne bi čutil kakršnega koli nelagodja zaradi svojega žilnega stanja. Esencialna (nepojasnjena) hipertenzija je ni depresivna.
Tudi pri njenem pulzu in med diagnostiko pulza nisem opazil nič narobe. Diagnosticirala sem ji manj pogosto esencialno (nepojasnjenega vzroka) hipertenzijo. Če bi ji navaden zdravnik izmeril pritisk, bi takoj poklical rešilca in jo dal na nosila. Niti premakniti ji ni dovolil. Dejstvo je, da se oseba s tako zvišanim krvnim tlakom šteje za hipertenzivno krizo. Lahko mu sledi možganska kap ali srčni infarkt.
Po njenih besedah se zaradi rednih antihipertenzivnih zdravil počuti toliko slabše, da ji povzroča celo slabost. Na vztrajanje sina se je naučila uporabljati nihalo, ko jo močno boli glava, vpraša nihalo, ali naj pije aspirin ali pentalgin. Redkeje, s privolitvijo nihalke, jemlje prevretek iz vrbovih listov ali prevretek iz listov kutine, ki ji ju je pred štirimi leti priporočil zdravnik Muhiddin. Če jo glava močno boli, potem pije aspirin, v zelo hudih primerih pa pentalgin. Zdravniki in sosedje hipertoničarke se smejijo njenemu samozdravljenju.
Z nihalom sem preveril vsa zdravila, ki jih jemlje za glavobole in visok krvni tlak. Vsi so se izkazali za učinkovite.Vprašal sem tudi nihalo. »Ali se ji bo zdravje izboljšalo, če bo s svojo toplino začela zdraviti ljudi?« je nihalo takoj močno zanihalo v smeri urinega kazalca, pritrdilno. Zato sem ji predpisal zdravljenje zase, da bi se znebila esencialne hipertenzije, mora zdraviti bolezni drugih ljudi, nanje položiti roke ali noge. Zdaj pogosto napotim bolnike k njej in jih uspešno zdravi psihične prepustnice. Toploto roke usmerja na bolezni do pasu, na bolezni pod pasom, v ležečem položaju nad pacientom drži desno oziroma levo nogo na problematičnem področju.
Z rezultati so zadovoljni tako ona kot bolniki. Že dve leti ne jemlje ne aspirina ne pentalgina, nihalo pa ji včasih dovoli, da proti manjšim glavobolom popije prevretek vrbovih ali kutinovih listov.
Kdor potrebuje njeno pomoč, mi pišite, pomagala vam bo za skromno plačilo. Celo brezkontaktno sem jo naučil ravnati z ljudmi na velikih razdaljah.
Človek, ki resnično dela z nihalom, mora biti med delovanjem nihala v sinhroni komunikaciji z njim in mora vnaprej vedeti in čutiti, v katero smer so trenutno usmerjena dejanja nihala. Oseba, ki drži nit nihala, naj mu z energijsko močjo svojih možganov pomaga podzavestno in ne špekulativno pri nadaljnjem delovanju na ta objekt in ne gleda ravnodušno na delovanje nihala kot gledalec.
Nihalo so uporabljali in ga še vedno uporabljajo skoraj vsi znani ljudje v Mezopotamiji, Asiriji, Urartu, Indiji, na Kitajskem, Japonskem, v starem Rimu, Egiptu, Grčiji, Aziji, Afriki, Ameriki, Evropi, na Vzhodu in mnogih državah sveta.
Ker številne ugledne mednarodne institucije, ugledne osebnosti na različnih področjih znanosti še niso dovolj ovrednotile delovanja in namena nihala v korist sožitja človeštva z okoliško naravo v sožitju in harmoniji. Človeštvo še ni popolnoma opustilo psevdznanstvenih pogledov na vesolje Univerzalne normale na ravni sodobnega naravoslovja. Obstaja stopnja zamegljenosti meje znanja med religijo, ezoteriko in naravoslovjem. Seveda mora naravoslovje postati osnova vseh temeljnih znanosti brez stranskih pogledov.
Obstaja upanje, da bo znanost o nihalu poleg informacijske znanosti zavzela svoje pravo mesto v življenju ljudi. Nenazadnje so bili časi, ko so voditelji naše večnacionalne države kibernetiko razglasili za psevdoznanost in ji niso dovolili ne samo proučevanja, ampak celo proučevanja v izobraževalnih ustanovah.
Tako zdaj, na ravni najvišjega ešalona sodobne znanosti, gledajo na idejo nihala, kot da bi šlo za zaostalo industrijo. Sistematizirati je treba nihalo, radiestezijo in okvir pod en sklop računalništva ter izdelati računalniški programski modul.
S pomočjo tega modula lahko vsak najde manjkajoče stvari, določi lokacijo predmetov in nenazadnje diagnosticira ljudi, živali, ptice, žuželke in vso naravo nasploh.
Če želite to narediti, morate preučiti ideje L. G. Puchka o večdimenzionalni medicini in delo jasnovidca Gellerja, pa tudi ideje bolgarskega zdravilca Kanalijeva in dela mnogih drugih ljudi, ki so s pomočjo nihalo.
Matematično nihalo imenujemo materialna točka, ki visi na breztežnostni in neraztegljivi niti, ki je pritrjena na vzmetenje in se nahaja v polju gravitacije (ali druge sile).
Oglejmo si nihanje matematičnega nihala v inercialnem referenčnem sistemu, glede na katerega točka njegovega vzmetenja miruje ali se giblje enakomerno premočrtno. Silo zračnega upora (idealno matematično nihalo) bomo zanemarili. Sprva nihalo miruje v ravnotežnem položaju C. Pri tem se sila težnosti in prožnostna sila F?ynp niti, ki deluje nanj, medsebojno kompenzirata.
Odmaknimo nihalo iz ravnotežnega položaja (z odklonom npr. v položaj A) in ga spustimo brez začetne hitrosti (slika 1). V tem primeru sile med seboj niso uravnotežene. Tangencialna komponenta gravitacije, ki deluje na nihalo, mu daje tangencialni pospešek a?? (komponenta celotnega pospeška, usmerjena vzdolž tangente na trajektorijo matematičnega nihala), in nihalo se začne premikati proti ravnotežnemu položaju s hitrostjo, ki narašča v absolutni vrednosti. Tangencialna komponenta gravitacije je torej obnovitvena sila. Normalna komponenta gravitacije je usmerjena vzdolž niti proti prožni sili. Rezultanta sil daje nihalu normalni pospešek, ki spremeni smer vektorja hitrosti in nihalo se giblje po loku ABCD.
Bolj kot se nihalo približuje ravnotežnemu položaju C, manjša postaja vrednost tangencialne komponente. V ravnotežnem položaju je enaka nič, hitrost pa doseže največjo vrednost, nihalo pa se po vztrajnosti premika naprej in se dviga v loku navzgor. V tem primeru je komponenta usmerjena proti hitrosti. Z večanjem odklonskega kota a se velikost sile povečuje, velikost hitrosti pa zmanjšuje, v točki D pa postane hitrost nihala enaka nič. Nihalo se za trenutek ustavi, nato pa se začne premikati v nasprotni smeri od ravnotežnega položaja. Ko ga ponovno preleti po vztrajnosti, bo nihalo, upočasnjeno gibanje, doseglo točko A (ni trenja), tj. bo dokončal popoln zamah. Po tem se bo gibanje nihala ponovilo v že opisanem zaporedju.
Dobimo enačbo, ki opisuje prosta nihanja matematičnega nihala.
Naj bo nihalo v danem trenutku v točki B. Njegov odmik S od ravnotežnega položaja v tem trenutku je enak dolžini loka SV (tj. S = |SV|). Dolžino obešalne niti označimo z l, maso nihala pa z m.
Iz slike 1 je razvidno, da je , kjer je . Pri majhnih kotih () se nihalo odkloni, torej
V tej formuli je znak minus postavljen, ker je tangencialna komponenta gravitacije usmerjena proti ravnotežnemu položaju, premik pa se šteje od ravnotežnega položaja.
Po drugem Newtonovem zakonu. Projicirajmo vektorske količine te enačbe na smer tangente na trajektorijo matematičnega nihala
Iz teh enačb dobimo
Dinamična enačba gibanja matematičnega nihala. Tangencialni pospešek matematičnega nihala je sorazmeren z njegovim premikom in je usmerjen proti ravnotežnemu položaju. To enačbo lahko zapišemo kot
Primerjava z enačbo harmoničnih vibracij 
, lahko sklepamo, da matematično nihalo izvaja harmonična nihanja. In ker so obravnavana nihanja nihala nastala pod vplivom samo notranjih sil, so bila to prosta nihanja nihala. Posledično so prosta nihanja matematičnega nihala z majhnimi odstopanji harmonična.
Označimo
Ciklična frekvenca nihanja nihala.
Obdobje nihanja nihala. torej
Ta izraz se imenuje Huygensova formula. Določa periodo prostih nihanj matematičnega nihala. Iz formule sledi, da je pri majhnih kotih odstopanja od ravnotežnega položaja obdobje nihanja matematičnega nihala:
- ni odvisen od njegove mase in amplitude vibracij;
- je sorazmeren kvadratnemu korenu dolžine nihala in obratno sorazmeren kvadratnemu korenu gravitacijskega pospeška.
To je v skladu z eksperimentalnimi zakoni majhnih nihanj matematičnega nihala, ki jih je odkril G. Galileo.
Poudarjamo, da je to formulo mogoče uporabiti za izračun obdobja, če sta hkrati izpolnjena dva pogoja:
- nihanje nihala mora biti majhno;
- vzmetna točka nihala mora mirovati ali se gibati enakomerno premočrtno glede na inercialni referenčni sistem, v katerem se nahaja.
Če se točka vzmetenja matematičnega nihala premika s pospeševanjem, se spremeni natezna sila niti, kar povzroči spremembo obnovitvene sile in posledično frekvence in obdobja nihanj. Kot kažejo izračuni, lahko obdobje nihanja nihala v tem primeru izračunamo po formuli
kjer je "efektivni" pospešek nihala v neinercialnem referenčnem sistemu. Enak je geometrijski vsoti pospeška prostega pada in vektorju nasprotnega vektorja, tj. lahko izračunamo s formulo
Matematično nihalo imenujemo materialna točka, ki visi na breztežnostni in neraztegljivi niti, ki je pritrjena na vzmetenje in se nahaja v polju gravitacije (ali druge sile).
Oglejmo si nihanje matematičnega nihala v inercialnem referenčnem sistemu, glede na katerega točka njegovega vzmetenja miruje ali se giblje enakomerno premočrtno. Silo zračnega upora (idealno matematično nihalo) bomo zanemarili. Na začetku nihalo miruje v ravnotežnem položaju C. V tem primeru sta sila težnosti \(\vec F\), ki deluje nanj, in prožnostna sila \(\vec F_(ynp)\) niti medsebojni. nadomestilo.
Odmaknimo nihalo iz ravnotežnega položaja (z odklonom npr. v položaj A) in ga spustimo brez začetne hitrosti (slika 13.11). V tem primeru se sili \(\vec F\) in \(\vec F_(ynp)\) ne uravnovesita. Tangencialna komponenta gravitacije \(\vec F_\tau\), ki deluje na nihalo, mu daje tangencialni pospešek \(\vec a_\tau\) (komponenta celotnega pospeška, usmerjenega vzdolž tangente na trajektorijo matematičnega nihala ), in nihalo se začne premikati v ravnotežni položaj s hitrostjo, ki narašča v absolutni vrednosti. Tangencialna komponenta gravitacije \(\vec F_\tau\) je torej obnovitvena sila. Normalna komponenta \(\vec F_n\) gravitacijske sile je usmerjena vzdolž niti proti elastični sili \(\vec F_(ynp)\). Rezultanta sil \(\vec F_n\) in \(\vec F_(ynp)\) posreduje nihalu normalni pospešek \(~a_n\), ki spremeni smer vektorja hitrosti in nihalo se premika po loku ABCD.
Bolj kot se nihalo približuje ravnotežnemu položaju C, manjša postane vrednost tangencialne komponente \(~F_\tau = F \sin \alpha\). V ravnotežnem položaju je enaka nič, hitrost pa doseže največjo vrednost, nihalo pa se po vztrajnosti premika naprej in se dviga v loku navzgor. V tem primeru je komponenta \(\vec F_\tau\) usmerjena proti hitrosti. Z večanjem odklonskega kota a se modul sile \(\vec F_\tau\) povečuje, modul hitrosti pa zmanjšuje, v točki D pa postane hitrost nihala enaka nič. Nihalo se za trenutek ustavi, nato pa se začne premikati v nasprotni smeri od ravnotežnega položaja. Ko ga ponovno preleti po vztrajnosti, bo nihalo, upočasnjeno gibanje, doseglo točko A (ni trenja), tj. bo dokončal popoln zamah. Po tem se bo gibanje nihala ponovilo v že opisanem zaporedju.
Dobimo enačbo, ki opisuje prosta nihanja matematičnega nihala.
Naj bo nihalo v danem trenutku v točki B. Njegov odmik S od ravnotežnega položaja v tem trenutku je enak dolžini loka SV (tj. S = |SV|). Označimo dolžino obešalne niti l, masa nihala pa je m.
Iz slike 13.11 je jasno, da \(~F_\tau = F \sin \alpha\), kjer \(\alpha =\frac(S)(l).\) Pri majhnih kotih \(~(\alpha<10^\circ)\) отклонения маятника \(\sin \alpha \approx \alpha,\) поэтому
\(F_\tau = -F\frac(S)(l) = -mg\frac(S)(l).\)
V tej formuli je znak minus postavljen, ker je tangencialna komponenta gravitacije usmerjena proti ravnotežnemu položaju, premik pa se šteje od ravnotežnega položaja.
V skladu z drugim Newtonovim zakonom \(m \vec a = m \vec g + F_(ynp).\) Projicirajmo vektorske količine te enačbe na smer tangente na trajektorijo matematičnega nihala
\(~F_\tau = ma_\tau .\)
Iz teh enačb dobimo
\(a_\tau = -\frac(g)(l)S\) - dinamična enačba gibanja matematičnega nihala. Tangencialni pospešek matematičnega nihala je sorazmeren z njegovim premikom in je usmerjen proti ravnotežnemu položaju. To enačbo lahko zapišemo kot\. Če jo primerjamo z enačbo harmoničnih nihanj \(~a_x + \omega^2x = 0\) (glej § 13.3), lahko sklepamo, da matematično nihalo izvaja harmonična nihanja. In ker so obravnavana nihanja nihala nastala pod vplivom samo notranjih sil, so bila to prosta nihanja nihala. torej prosta nihanja matematičnega nihala z majhnimi odstopanji so harmonična.
Označimo \(\frac(g)(l) = \omega^2.\) Od koder je \(\omega = \sqrt \frac(g)(l)\) ciklična frekvenca nihala.
Nihajna doba nihala je \(T = \frac(2 \pi)(\omega).\) Zato je
\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g) )\)
Ta izraz se imenuje Huygensova formula. Določa periodo prostih nihanj matematičnega nihala. Iz formule sledi, da pri majhnih kotih odstopanja od ravnotežnega položaja obdobje nihanja matematičnega nihala: 1) ni odvisno od njegove mase in amplitude nihanj; 2) sorazmeren kvadratnemu korenu dolžine nihala in obratno sorazmeren kvadratnemu korenu gravitacijskega pospeška. To je v skladu z eksperimentalnimi zakoni majhnih nihanj matematičnega nihala, ki jih je odkril G. Galileo.
Poudarjamo, da lahko to formulo uporabimo za izračun periode, če sta hkrati izpolnjena dva pogoja: 1) nihanje nihala mora biti majhno; 2) vzmetna točka nihala mora mirovati ali se gibati enakomerno premočrtno glede na inercialni referenčni okvir, v katerem se nahaja.
Če se točka vzmetenja matematičnega nihala premika s pospeškom \(\vec a\), se spremeni natezna sila niti, kar povzroči spremembo obnovitvene sile in posledično frekvence in obdobja nihanj. Kot kažejo izračuni, lahko obdobje nihanja nihala v tem primeru izračunamo po formuli
\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g") )\)
kjer je \(~g"\) "dejanski" pospešek nihala v neinercialnem referenčnem sistemu. Enak je geometrijski vsoti gravitacijskega pospeška \(\vec g\) in vektorja, ki je nasproten vektor \(\vec a\), kar pomeni, da ga je mogoče izračunati s formulo
\(\vec g" = \vec g + (- \vec a).\)
Literatura
Aksenovich L. A. Fizika v srednji šoli: Teorija. Naloge. Testi: Učbenik. dodatek za ustanove, ki izvajajo splošno izobraževanje. okolje, izobraževanje / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Ed. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsiya i vyakhavanne, 2004. - Str. 374-376.
Matematično nihalo.
Matematično nihalo je materialna točka, obešena na neraztegljivo breztežno nit, ki pod vplivom gravitacije izvaja nihajno gibanje v eni navpični ravnini.
Tako nihalo lahko štejemo za težko kroglo z maso m, obešeno na tanki niti, katere dolžina l je veliko večja od velikosti krogle. Če jo od navpičnice odklonimo za kot α (slika 7.3.), potem pod vplivom sile F, ene od komponent uteži P, zaniha. Druga komponenta, usmerjena vzdolž niti, se ne upošteva, ker je uravnotežena z napetostjo niti. Pri majhnih kotih pomika in lahko koordinato x merimo v vodoravni smeri. Iz slike 7.3 je razvidno, da je komponenta teže, pravokotna na nit, enaka
Moment sile glede na točko O: in vztrajnostni moment:
M=FL .
Vztrajnostni moment J v tem primeru
Kotni pospešek:
Ob upoštevanju teh vrednosti imamo: 
 |
(7.8) |
Njegova odločitev 
,
| kje in | (7.9) |
Kot lahko vidimo, je nihajna doba matematičnega nihala odvisna od njegove dolžine in gravitacijskega pospeška in ni odvisna od amplitude nihanja.
Fizikalno nihalo.
Fizikalno nihalo je togo telo, pritrjeno na nepremični vodoravni osi (osi vzmetenja), ki ne poteka skozi težišče in niha okoli te osi pod vplivom gravitacije. Za razliko od matematičnega nihala mase takega telesa ni mogoče obravnavati kot točkasto.
Pri majhnih odklonskih kotih α (slika 7.4) fizikalno nihalo izvaja tudi harmonična nihanja. Predpostavili bomo, da je teža fizičnega nihala pritrjena na njegovo težišče v točki C. Sila, ki vrne nihalo v ravnotežni položaj, bo v tem primeru komponenta gravitacije - sila F.
Znak minus na desni strani pomeni, da je sila F usmerjena proti zmanjševanju kota α. Ob upoštevanju majhnosti kota α
Za izpeljavo zakona gibanja matematičnega in fizikalnega nihala uporabimo osnovno enačbo dinamike rotacijskega gibanja
Moment sile: ni mogoče eksplicitno določiti. Ob upoštevanju vseh količin, vključenih v izvirno diferencialno enačbo nihanj fizičnega nihala, ima obliko:
