معادلة Odz التربيعية. نطاق القيم المقبولة: النظرية والتطبيق. حل معادلة تربيعية ذات ظل

المستشار العلمي:

1. مقدمة 3

2. رسم تاريخي 4

3. "مكان" ODZ عند حل المعادلات والمتباينات 5-6

4. مميزات ومخاطر ODZ 7

5. ODZ – يوجد حل 8-9

6. العثور على ODZ هو عمل إضافي.

معادلة التحولات 10-13

7. ODZ في امتحان الدولة الموحدة 14-15

8. الاستنتاج 16

9. الأدب 17

1 المقدمة

المعادلات والمتباينات التي من الضروري إيجاد نطاق القيم المقبولة فيها لم تجد مكانًا لها في مسار الجبر للعرض المنهجي، وربما يكون هذا هو السبب وراء ارتكاب زملائي الأخطاء في كثير من الأحيان عند حل مثل هذه الأمثلة، وقضاء الكثير من الوقت في حلها لهم، مع نسيان نطاق القيم المقبولة. هذا تحديد مشكلةمن هذا العمل.

يهدف هذا العمل إلى دراسة ظاهرة وجود منطقة ذات قيم مقبولة عند حل المعادلات والمتباينات بمختلف أنواعها؛ قم بتحليل هذا الموقف، واستخلاص استنتاجات صحيحة منطقيا في الأمثلة التي تحتاج فيها إلى مراعاة نطاق القيم المقبولة.

مهام:

بناء على الخبرة الحالية والأساس النظري، جمع المعلومات الأساسية حول نطاق القيم المسموح بها واستخدامها في الممارسة المدرسية؛ تحليل الحلول لأنواع مختلفة من المعادلات والمتباينات (الكسرية، غير المنطقية، اللوغاريتمية، التي تحتوي على دوال مثلثية عكسية)؛ التحقق من النتائج التي تم الحصول عليها سابقاً عند حل المعادلات والمتباينات المختلفة، والتأكد من موثوقية طرق وطرق حلها؛ تحديد "مكان" نطاق القيم المقبولة عند حل المعادلات والمتباينات؛ تطبيق المواد البحثية التي تم الحصول عليها في موقف يختلف عن الوضع القياسي، واستخدامها في التحضير لامتحان الدولة الموحدة.

عند حل هذه المشاكل تم استخدام ما يلي طرق البحث: التحليل، التحليل الإحصائي، الاستنباط، التصنيف، التنبؤ.

بدأت الدراسة بتكرار الوظائف المعروفة التي تمت دراستها في المنهج المدرسي. نطاق العديد منهم محدود.

يحدث نطاق القيم المقبولة عند حل: المعادلات العقلانية الكسرية والمتباينات؛ المعادلات والمتباينات غير العقلانية؛ المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات؛ المعادلات والمتباينات التي تحتوي على دوال مثلثية عكسية.

بعد حل العديد من الأمثلة من مصادر مختلفة (استخدام الكتب المدرسية والكتب المدرسية والكتب المرجعية)، حددنا حل الأمثلة وفقًا للمبادئ التالية:

· يمكنك حل المثال ومراعاة ODZ (الطريقة الأكثر شيوعاً)

· من الممكن حل المثال دون مراعاة ODZ

· لا يمكن التوصل إلى القرار الصحيح إلا من خلال الأخذ بعين الاعتبار منطقة ODZ.

تمت دراسة تحليل نتائج امتحان الدولة الموحدة خلال السنوات الماضية. تم ارتكاب العديد من الأخطاء في الأمثلة التي يجب فيها أخذ DL بعين الاعتبار. أهمية عمليةيكمن العمل في حقيقة أنه يمكن استخدام محتواه وتقييماته واستنتاجاته في تدريس الرياضيات في المدرسة، استعدادًا للحصول على الشهادة النهائية لأطفال المدارس في الصفين التاسع والحادي عشر.

2. رسم تاريخي

مثل مفاهيم الرياضيات الأخرى، لم يتطور مفهوم الدالة على الفور، بل مر بمسار طويل من التطور. في عمل P. Fermat "مقدمة ودراسة الأماكن المستوية والصلبة" (1636، نشر 1679) يقال: "كلما كانت هناك كميتين غير معروفتين في المعادلة النهائية، هناك مكان". في الأساس، نحن هنا نتحدث عن الاعتماد الوظيفي وتمثيله الرسومي («المكان» في الفرما يعني الخط). تشير أيضًا دراسة الخطوط وفقًا لمعادلاتها في "الهندسة" لـ R. Descartes (1637) إلى فهم واضح للاعتماد المتبادل بين متغيرين. I. Barrow (محاضرات في الهندسة، 1670) يحدد في شكل هندسي الطبيعة العكسية المتبادلة لإجراءات التمايز والتكامل (بالطبع، دون استخدام هذه المصطلحات نفسها). يشير هذا بالفعل إلى إتقان واضح تمامًا لمفهوم الوظيفة. نجد أيضًا هذا المفهوم في شكل هندسي وميكانيكي عند نيوتن. ومع ذلك، فإن مصطلح "الوظيفة" يظهر لأول مرة فقط في عام 1692 مع ج. لايبنتز، علاوة على ذلك، ليس تمامًا في فهمه الحديث. G. Leibniz يطلق على الأجزاء المختلفة المرتبطة بالمنحنى (على سبيل المثال، حدود نقاطه) وظيفة. في الدورة التدريبية الأولى المطبوعة، "تحليل المتناهية الصغر لمعرفة الخطوط المنحنية" التي كتبها L'Hopital (1696)، لم يتم استخدام مصطلح "الوظيفة".

تم العثور على التعريف الأول للدالة بمعنى قريب من التعريف الحديث في I. Bernoulli (1718): “الدالة هي كمية مكونة من متغير وثابت”. يعتمد هذا التعريف غير الواضح تمامًا على فكرة تحديد الوظيفة بصيغة تحليلية. تظهر نفس الفكرة في تعريف L. Euler الذي قدمه في “مقدمة لتحليل اللانهائيات” (1748): “إن وظيفة الكمية المتغيرة هي تعبير تحليلي يتكون بطريقة ما من هذه الكمية المتغيرة والأرقام أو كميات ثابتة." ومع ذلك، لم يعد L. Euler غريبًا عن الفهم الحديث للوظيفة، الذي لا يربط مفهوم الوظيفة بأي من تعبيراتها التحليلية. يقول "حساب التفاضل والتكامل" (1755): "عندما تعتمد كميات معينة على كميات أخرى بطريقة تجعلها عرضة للتغيير عندما تتغير الأخيرة، فإن الأولى تسمى وظائف الأخيرة".

منذ بداية القرن التاسع عشر، تم تعريف مفهوم الدالة بشكل متزايد دون ذكر تمثيلها التحليلي. في "دراسة حول حساب التفاضل والتكامل" (1797-1802) يقول س. لاكروا: "كل كمية تعتمد قيمتها على واحدة أو أكثر من الكميات الأخرى تسمى دالة لهذه الأخيرة". في "النظرية التحليلية للحرارة" التي كتبها ج. فورييه (1822) هناك عبارة: "الوظيفة و (خ)تشير إلى وظيفة اعتباطية تمامًا، أي سلسلة من القيم المعطاة، سواء كانت خاضعة لقانون عام أم لا ومتوافقة مع جميع القيم سالواردة بين 0 وبعض القيمة س" تعريف N. I. Lobachevsky قريب من التعريف الحديث: "... المفهوم العام للوظيفة يتطلب أن تكون الوظيفة من سقم بتسمية الرقم المعطى لكل منها سومعا سيتغير تدريجيا. ويمكن إعطاء قيمة الدالة إما عن طريق تعبير تحليلي، أو عن طريق شرط يوفر وسيلة لاختبار جميع الأرقام واختيار واحد منها، أو، في النهاية، يمكن أن يوجد الاعتماد ويظل مجهولا. ويقال أيضًا هناك أقل قليلاً: "إن النظرة الواسعة للنظرية تسمح بوجود الاعتماد فقط بمعنى أن الأعداد بعضها مع بعضها البعض تُفهم كما لو كانت مُعطى معًا". وهكذا، فإن التعريف الحديث للدالة، دون الرجوع إلى المهمة التحليلية، والذي يُنسب عادةً إلى P. Dirichlet (1837)، تم اقتراحه مرارًا وتكرارًا أمامه:

y لديه وظيفة المتغير x (على المقطع https://pandia.ru/text/78/093/images/image002_83.gif" width="95" height="27 src=">. عن طريق تربيع كلا الجانبين من المعادلة، دعونا نتخلص من اللاعقلانية. ولكن دعونا ننتبه إلى حقيقة أن التربيع، بشكل عام، ليس تحويلاً متكافئًا، وعند التربيع يمكننا الحصول على جذور إضافية. إذا كانت الجذور كاملة، فمن السهل للتحقق، ولكن في بعض الحالات يكون من غير المناسب التحقق، ثم استخدم اختزال هذه المعادلة إلى نظام مكافئ:

.

في هذه الحالة، ليست هناك حاجة للعثور على ODZ: من المعادلة الأولى يتبع أن قيم x التي تم الحصول عليها تلبي عدم المساواة التالية: https://pandia.ru/text/78/093/images/image005_34. gif" width="107" height="27 src="> هو النظام:

نظرًا لأنهم يدخلون في المعادلة بالتساوي، فبدلاً من عدم المساواة، يمكنك تضمين عدم المساواة https://pandia.ru/text/78/093/images/image010_15.gif" width="220" height="49">

https://pandia.ru/text/78/093/images/image015_10.gif" width="239" height="51">

3. حل المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات.

3.1. مخطط لحل المعادلة اللوغاريتمية

ولكن يكفي التحقق من شرط واحد فقط من ODZ.

3.2..gif" العرض = "115" الارتفاع = "48 src =>.gif" العرض = "115" الارتفاع = "48 src = ">

4. المعادلات المثلثية من النموذجمكافئة للنظام (بدلاً من عدم المساواة، يمكنك تضمين عدم المساواة في النظام https://pandia.ru/text/78/093/images/image025_2.gif" width="377" height="23"> مكافئة إلى المعادلة

4. مميزات ومخاطر نطاق القيم المسموح بها

في دروس الرياضيات، نحن مطالبون بإيجاد DL في كل مثال. في الوقت نفسه، وفقًا للجوهر الرياضي للمسألة، فإن العثور على ODZ ليس إلزاميًا على الإطلاق، وغالبًا ما يكون غير ضروري، وأحيانًا مستحيل - وكل هذا دون أي ضرر لحل المثال. من ناحية أخرى، غالبا ما يحدث أنه بعد حل أحد الأمثلة، ينسى تلاميذ المدارس أن يأخذوا في الاعتبار DL، وكتابته كإجابة نهائية، ومراعاة بعض الشروط فقط. وهذا الظرف معروف، لكن «الحرب» مستمرة كل عام، ويبدو أنها ستستمر لفترة طويلة.

خذ بعين الاعتبار، على سبيل المثال، عدم المساواة التالية:

هنا يتم البحث عن ODZ ويتم حل عدم المساواة. ومع ذلك، عند حل عدم المساواة هذه، يعتقد تلاميذ المدارس أحيانًا أنه من الممكن تمامًا الاستغناء عن البحث عن DL، أو بشكل أكثر دقة، من الممكن الاستغناء عن الشرط

في الواقع، للحصول على الإجابة الصحيحة من الضروري أن تأخذ في الاعتبار كلا من عدم المساواة و .

لكن على سبيل المثال حل المعادلة: https://pandia.ru/text/78/093/images/image033_3.gif" width="79 height=75" height="75">

وهو ما يعادل العمل مع ODZ. ومع ذلك، في هذا المثال، هذا العمل غير ضروري - يكفي التحقق من تحقيق اثنين فقط من هذه عدم المساواة، وأي اثنين.

تذكر أن أي معادلة (عدم المساواة) يمكن اختزالها إلى الصيغة . ODZ هو ببساطة مجال تعريف الوظيفة على الجانب الأيسر. حقيقة وجوب مراقبة هذه المنطقة تنبع من تعريف الجذر كرقم من مجال تعريف دالة معينة، وبالتالي من ODZ. فيما يلي مثال مضحك حول هذا الموضوع..gif" width="20" height="21 src="> يحتوي على مجال تعريف لمجموعة من الأرقام الموجبة (وهذا بالطبع عبارة عن اتفاقية للنظر في دالة ذات ، ولكن معقول)، ثم -1 ليس هو الجذر.

5. نطاق القيم المقبولة – يوجد حل

وأخيرا، في العديد من الأمثلة، يتيح لك العثور على ODZ الحصول على إجابة دون حسابات مرهقة، أو حتى شفهيا.

1. OD3 عبارة عن مجموعة فارغة، مما يعني أن المثال الأصلي ليس له حلول.

1) 2) 3)

2. ب ODZ تم العثور على رقم واحد أو أكثر، والاستبدال البسيط يحدد الجذور بسرعة.

1) , س = 3

2)هنا في ODZ لا يوجد سوى رقم 1 وبعد الاستبدال يتبين أنه ليس جذراً.

3) هناك رقمان في ODZ: 2 و 3 ، وكلاهما مناسب.

4) > يوجد رقمان في ODZ 0 و 1 ، ويناسب فقط 1 .

يمكن استخدام ODZ بفعالية مع تحليل التعبير نفسه.

5) < ОДЗ: Но в правой части неравенства могут быть только положительные числа, поэтому оставляем س = 2. ثم نعوض في المتباينة 2 .

6) من ODZ يتبع ذلك، حيث لدينا ..gif" width="143" height="24"> من ODZ لدينا: . لكن بعد ذلك و . منذ ذلك الحين، لا توجد حلول.

من ODZ لدينا:..gif" width="53" height="24 src=">.gif" width="156" height="24"> ODZ: . منذ ذلك الحين

على الجانب الآخر،. المساواة ممكنة فقط عندما يكون طرفا المعادلة متساويين 0 ، أي متى س = 1. بعد استبدال هذه القيمة Xنحن مقتنعون بأنه لا توجد حلول.

أودز:. خذ بعين الاعتبار المعادلة في الفترة [-1؛ 0).

إنه يحقق المتباينات التالية https://pandia.ru/text/78/093/images/image072_0.gif" width="68" height="24 src=">.gif" width="123" height="24 src = "> ولا توجد حلول. مع الوظيفة وhttps://pandia.ru/text/78/093/images/image077_0.gif" width="179" height="25">.ODZ: س>2. حيث . وهذا يعني أن المساواة الأولية مستحيلة ولا توجد حلول.

والآن لنضرب مثالًا اقترحه المعلم في درس الجبر. لم نتمكن من حل المشكلة على الفور، ولكن عندما وجدنا منطقة ODZ، أصبح كل شيء واضحًا.

ابحث عن الجذر الصحيح للمعادلة https://pandia.ru/text/78/093/images/image080_0.gif" width="124" height="77">

الحل الصحيح ممكن فقط إذا س = 3و س = 5. وبالفحص نجد أن الجذر س = 3لا يناسب، فالجواب هو: س = 5.

6. العثور على نطاق القيم المقبولة هو عمل إضافي. معادلة التحولات.

يمكنك إعطاء أمثلة حيث يكون الوضع واضحًا حتى بدون العثور على DZ.

1.

المساواة مستحيلة، لأنه عند طرح تعبير أكبر من تعبير أصغر، يجب أن تكون النتيجة رقمًا سالبًا.

2. .

لا يمكن أن يكون مجموع دالتين غير سالبتين سالبًا.

سأقدم أيضًا أمثلة حيث يكون العثور على ODZ أمرًا صعبًا، وأحيانًا مستحيلًا.

وأخيرا، غالبا ما تكون عمليات البحث عن ODZ مجرد عمل إضافي يمكنك الاستغناء عنه، مما يثبت فهمك لما يحدث. هناك عدد كبير من الأمثلة التي يمكن تقديمها هنا، لذلك سنختار فقط الأمثلة الأكثر نموذجية. طريقة الحل الرئيسية في هذه الحالة هي التحويلات المكافئة عند الانتقال من معادلة (متباينة، نظام) إلى أخرى.

1.. ليست هناك حاجة إلى ODZ، لأنه تم العثور على تلك القيم X، الذي ×2=1، لا يمكننا الحصول على س = 0.

2. . ليست هناك حاجة إلى ODZ، لأننا نكتشف متى يكون التعبير الجذري مساويًا لرقم موجب.

3. . ليست هناك حاجة إلى ODZ لنفس الأسباب كما في المثال السابق.

4.

ليست هناك حاجة إلى ODZ، لأن التعبير الجذري يساوي مربع بعض الوظائف، وبالتالي لا يمكن أن يكون سالبًا.

5.

6. . ليست هناك حاجة إلى ODZ، لأن التعبير إيجابي دائمًا.

7. لحل هذه المشكلة، يكفي وجود قيد واحد فقط للتعبير الجذري. في الواقع، من النظام المختلط المكتوب يترتب على ذلك أن التعبير الجذري الآخر غير سلبي.

8. ليست هناك حاجة إلى DZ لنفس الأسباب كما في المثال السابق.

9. ليست هناك حاجة إلى ODZ، لأنه يكفي أن يكون اثنان من التعبيرات الثلاثة تحت علامات اللوغاريتم موجبًا لضمان إيجابية التعبير الثالث.

10. .gif" width="357" height="51"> ODZ غير مطلوب لنفس الأسباب كما في المثال السابق.

ومع ذلك، تجدر الإشارة إلى أنه عند الحل باستخدام طريقة التحويلات المكافئة، فإن معرفة ODZ (وخصائص الوظائف) تساعد.

وهنا بعض الأمثلة.

1. . OD3، مما يعني أن التعبير الذي على الجانب الأيمن موجب، ومن الممكن كتابة معادلة مكافئة لهذه المعادلة بهذه الصورة. يجب التحقق من النتيجة التي تم الحصول عليها مقابل ODZ.

2. اودز : . ولكن بعد ذلك، وعند حل هذه المتباينة، ليس من الضروري النظر في الحالة التي يكون فيها الجانب الأيمن أقل من 0.

3. . يتبع من ODZ أنه، وبالتالي الحالة، مستبعدة.

وبشكل عام فإن فعالية أسلوب التحويلات المتكافئة تبدو واضحة. بمساعدتهم نصل إلى الإجابة دون البحث عن DZ. هل هذا يعني أن هناك طريقة عالمية وكل ما تبقى هو تعلم كيفية استخدامها؟ ولكنه ليس كذلك. هناك عدة أسباب لذلك. هناك الكثير من النظريات حول التحولات المكافئة، وليس من السهل تذكرها، كما أن إتقانها بثقة ليس بالأمر السهل. في كثير من الأحيان، باستخدام التحويلات المكافئة، تبدأ في وضع هذه العلامة على أي انتقالات من معادلة إلى أخرى، سواء كانت متكافئة حقًا أو ليست كذلك. يتم نسيان هذه النظريات بسرعة.

ومن الصعوبات الأخرى أنه عند كتابة المعادلة، يمكنك أن تنسى كتابة جميع الشروط التي تضمن ذلك، لكن هذا قد لا يؤثر على الإجابة بأي شكل من الأشكال. فيما يلي مثالين من هذا القبيل:

1. يبدو التحول بشكل عام كما يلي:

في هذا المثال، يكون التعبير الموجود تحت إشارة اللوغاريتم على اليمين موجبًا دائمًا. لذلك، بالنسبة لهذا المثال، فإن ذلك الجزء من شروط التكافؤ الذي يكتب كمجموعة لا يضيف شيئًا. ولكن بعد اتخاذ مثل هذا القرار، يمكنك ببساطة أن تنسى هذا المجمل.

هناك حالتان محتملتان: 0<<1 и >1.

وهذا يعني أن المتباينة الأصلية تعادل مجموعة أنظمة المتباينات التالية:

النظام الأول ليس له حلول، أما من الثاني فنحصل على: x<-1 – решение неравенства.

إن فهم شروط التكافؤ يتطلب معرفة بعض التفاصيل الدقيقة. على سبيل المثال، لماذا المعادلات التالية متكافئة:

أو

وأخيرا، وربما هو الأهم. والحقيقة أن التكافؤ يضمن صحة الإجابة في حالة إجراء بعض التحويلات للمعادلة نفسها، ولكنه لا يستخدم للتحويلات في جزء واحد فقط. لا تغطي نظريات التكافؤ الاختصارات واستخدام الصيغ المختلفة في أحد الأجزاء. تم تقديم بعض الأمثلة من هذا النوع في العمل. دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة الأخرى.

1. هذا القرار طبيعي. على الجانب الأيسر، وفقا لخاصية الدالة اللوغاريتمية، ننتقل إلى التعبير. ونتيجة لذلك، نحصل على المعادلة. وهو ما يعادل مثل هذا النظام

بعد حل هذا النظام، نحصل على النتيجة (-2 و 2)، والتي، مع ذلك، ليست إجابة، لأن الرقم -2 غير مدرج في ODZ. إذن، هل نحن بحاجة إلى تثبيت ODS؟ بالطبع لا. ولكن بما أننا استخدمنا خاصية معينة للدالة اللوغاريتمية في الحل، فإننا ملزمون بتوفير الشروط التي يتم بموجبها استيفاءها. مثل هذا الشرط هو إيجابية التعبيرات تحت علامة اللوغاريتم..gif" width="65" height="48">.

2. ..gif" width = "143" height = "27">.gif" width = "147" height = "24"> أضف شرطًا، ويمكنك أن ترى على الفور أن الرقم فقط https://pandia.ru/ يستوفي هذا الشرط text/78/093/images/image129.gif" width="117" height="27">) تم إثباته بواسطة 52% ممن أجروا الاختبار. أحد أسباب هذه المعدلات المنخفضة هو حقيقة أن العديد من الخريجين لم يختاروا الجذور التي تم الحصول عليها من المعادلة بعد تربيعها.

3) فكر على سبيل المثال في حل إحدى المشكلات C1: "ابحث عن جميع قيم x التي تمثل نقاط الرسم البياني للدالة تقع فوق النقاط المقابلة على الرسم البياني للوظيفة. تتلخص المهمة في حل متباينة كسرية تحتوي على تعبير لوغاريتمي. نحن نعرف طرق حل هذه المتباينات. وأكثرها شيوعًا هي الطريقة الفاصلة. ومع ذلك، عند استخدامه، يرتكب المتقدمون للاختبار أخطاء مختلفة. دعونا نلقي نظرة على الأخطاء الأكثر شيوعًا باستخدام عدم المساواة كمثال:

1. يجد الخريجون DL بشكل صحيح عن طريق حل نظام عدم المساواة:

أين س . بعد ذلك، بضرب طرفي المتراجحة في مقام مشترك، نحصل على المتراجحة: log(23 - 10) س

2..gif" width="124" height="29">. التالي يحصلون عليه س– 10 +; . ومن خلال حل هذه المعادلة ومراعاة الشرط، يستنتج الخريجون أن المعادلة ليس لها حلول.

3. يقوم المتقدمون للاختبار بتحويل المعادلة إلى النموذج بشكل صحيح

والنظر في حالتين: س 10 و س < 10. Они отмечают, что в первом случае решений нет, а во втором – корнями являются числа –1 и . При этом выпускники не учитывают условие س < 10.

8. الاستنتاج

حاولنا في هذا العمل استكشاف ظاهرة وجود مجموعة من القيم المقبولة عند حل المعادلات والمتباينات بمختلف أنواعها، وحللنا هذا الوضع، وتوصلنا إلى استنتاجات صحيحة منطقيا في أمثلة حيث لا بد من مراعاة نطاق القيم المقبولة بالنسبة لي، بدا موضوع "منطقة القيم المسموح بها" معقدًا للغاية وغير مفهوم، وفي الكتب المدرسية لا يُعطى هذا الموضوع المكان المناسب، ولا يتم تناوله عمليًا، على الرغم من أن مهام امتحان الدولة الموحدة تحتوي على مهام حل المعادلات والمتباينات التي من الضروري العثور على نطاق القيم المسموح بها. في عملية العمل، واجهنا حقيقة أن الأدبيات حول هذا الموضوع ليست كافية لدراسة كاملة ومنهجية. نعتقد أن هذا الموضوع يتطلب اهتمامًا وثيقًا من علماء الرياضيات والمنهجيين.

بعد حل العديد من الأمثلة من مصادر مختلفة، يمكننا استخلاص بعض الاستنتاجات: لا توجد طريقة عالمية لحل المعادلات والمتباينات. في كل مرة، إذا كنت تريد أن تفهم ما تفعله ولا تتصرف بشكل ميكانيكي، تفكر: ما هي طريقة الحل التي يجب عليك اختيارها، على وجه الخصوص، هل يجب أن تبحث عن نطاق القيم المقبولة أم لا؟ ونعتقد أن الخبرة المكتسبة ستساعد في حل هذه المعضلة. سيتوقف الطلاب عن ارتكاب الأخطاء من خلال تعلم كيفية استخدام نطاق القيم المقبولة بشكل صحيح. ما إذا كنا سنتمكن من القيام بذلك، سيخبرنا الوقت، أو بالأحرى امتحان الدولة الموحدة القادم 2010.

نأمل أن يكون العمل المقدم ممتعًا ومفيدًا للمعلمين والطلاب، وأن تتوقف الإعاقات التعليمية عن الوجود "نوع من ODZ السيئ"لأطفال المدارس.

9. الأدب

1. إلخ. "الجبر وبدايات التحليل 10-11" كتاب المسائل والكتاب المدرسي، م: "Prosveshchenie"، 2002.

2. "دليل الرياضيات الابتدائية." م.: «العلم»، 1966.

3. صحيفة “الرياضيات” العدد 46،

4. صحيفة "الرياضيات" العدد 4.

5. صحيفة "الرياضيات" العدد 5.

6. "تاريخ الرياضيات في المدرسة، الصفوف من السابع إلى الثامن". م: "التنوير"، 1982.

7. إلخ "الإصدار الأكثر اكتمالا من الخيارات لمهام امتحان الدولة الموحدة الحقيقية: 2009/FIPI" - م: "Astrel"، 2009.

8. وغيرها “امتحان الدولة الموحدة. الرياضيات. مواد عالمية لإعداد الطلاب/FIPI" - م.: "مركز الفكر"، 2009.

9. وغيرها "الجبر وبدايات التحليل 10-11". م: "التنوير"، 2007.

10. "ورشة حل المسائل في الرياضيات المدرسية (ورشة في الجبر)". م: التربية، 1976.

11. “25000 درس في الرياضيات”. م: "التنوير"، 1993.

12. "نحن نستعد للأولمبياد في الرياضيات". م: "الامتحان"، 2006.

13. “موسوعة الأطفال “الرياضيات”” المجلد 11، م: أفانتا +؛ 2002.

14. مواد من المواقع http://www. *****، http://www. *****.

بوابة الإنترنت ويكيبيديا http://ru. ويكيبيديا. org/wiki/Numeric_function (تم الوصول إليه في 03/05/2010).

"ورشة عمل حول حل المسائل في الرياضيات المدرسية (ورشة في الجبر)". م: التربية، 1976، ص64.

سؤال من طالب إلى Answers@***** http://otvet. *****/سؤال/8166619/ (تاريخ المشاهدة 22/03/2010)

رسالة منهجية "حول استخدام نتائج امتحان الدولة الموحدة لعام 2008 في تدريس الرياضيات في المؤسسات التعليمية للتعليم العام الثانوي (الكامل)" http://www. ***** (تاريخ المشاهدة 17/12/2009)

الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عند تقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تتيح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها الاتصال بك بشأن العروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
• قد نستخدم أيضًا المعلومات الشخصية لأغراض داخلية، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا شاركت في سحب جائزة أو مسابقة أو عرض ترويجي مماثل، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.

الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة

نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.

الاستثناءات:

• إذا لزم الأمر - وفقًا للقانون، والإجراءات القضائية، وفي الإجراءات القانونية و/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات المقدمة من السلطات الحكومية في أراضي الاتحاد الروسي - للكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفه.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.

احترام خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.

تهانينا أيها القراء الأعزاء!

لقد وصلنا أخيرا حل المعادلات المثلثية.سنقوم الآن بحل العديد من المعادلات المشابهة لمهام امتحان الدولة الموحدة. بالطبع، في الامتحان الحقيقي، ستكون المهام أكثر صعوبة بعض الشيء، لكن الجوهر سيبقى كما هو.

أولاً، دعونا نلقي نظرة على معادلة سهلة (لقد قمنا بالفعل بحل معادلة مماثلة في الدروس السابقة، ولكن تكرارها مفيد دائمًا).

$$(2\cos x + 1) (2\sin x - \sqrt(3)) = 0.$$

أعتقد أن تفسيرات كيفية اتخاذ القرار غير ضرورية.

$$2\cos x + 1 = 0 \text( أو ) 2\sin x - \sqrt(3) =0,$$

$$\cos x = -\frac(1)(2) \text( أو ) \sin x = \frac(\sqrt(3))(2),$$

علامات الخط المنقط الأفقي حل المعادلة مع الجيبعمودي - مع جيب التمام.

وبالتالي يمكن كتابة الحل النهائي على سبيل المثال كما يلي:

$$\left[ \begin(array)(l)x= \pm \frac(2\pi)(3),\\x = \frac(\pi)(3)+2\pi k. \end(array)\right.$$

المعادلة المثلثية مع ODZ

$$(1+\cos x)\left(\frac(1)(\sin x) - 1\right) = 0.$$

هناك اختلاف مهم في هذا المثال وهو ظهور جيب الجيب في المقام. على الرغم من أننا قمنا بحل معادلات مماثلة قليلاً في الدروس السابقة، إلا أنه من المفيد الخوض في ODZ بمزيد من التفصيل.

ODZ

`\sin x \neq 0 \Rightarrow x \neq \pi k`. عندما نضع علامة على الحل على الدائرة، سنضع علامة على هذه السلسلة من الجذور بنقاط مثقوبة (مفتوحة) خصيصًا لتوضيح أن `x` لا يمكنه أخذ مثل هذه القيم.

حل

دعونا نختصر إلى قاسم مشترك، ثم نساوي كلا القوسين بالصفر بالتناوب.

$$(1+\cos x)\left(\frac(1-\sin x)(\sin x)\right) = 0,$$

$$1+\cos x = 0 \text( أو ) \frac(1-\sin x)(\sin x) = 0,$$

$$\cos x = -1 \text( أو ) \sin x=1.$$

آمل أن حل هذه المعادلات لن يسبب أي صعوبات.

سلسلة الجذور - حلول المعادلة - موضحة أدناه بنقاط حمراء. تم وضع علامة ODZ باللون الأزرق في الشكل.

وهكذا، نحن نفهم أن حل المعادلة `\cos x = -1` لا يحقق ODZ.
ستكون الإجابة عبارة عن سلسلة من الجذور فقط `x = \frac(\pi)(2) + 2\pi k`.

حل معادلة مثلثية من الدرجة الثانية

النقطة التالية في برنامجنا هي حل معادلة تربيعية. لا يوجد شيء معقد حول هذا الموضوع. الشيء الرئيسي هو رؤية المعادلة التربيعية وإجراء الاستبدال كما هو موضح أدناه.

$$3\sin^2 x + \sin x =2,$$

$$3\sin^2 x + \sin x -2=0.$$

لنفترض أن `t= \sin x`، ثم نحصل على:

$$3t^2 + t-2=0.$$

$$t_1 = \frac(2)(3)، t_2 = -1.$$

دعونا نفعل الاستبدال العكسي.

$$\sin x = \frac(2)(3) \text( أو ) \sin x = -1.$$

$$\left[\begin(array)(l)x = \arcsin \frac(2)(3) + 2\pi k، \\ x = \pi - \arcsin \frac(2)(3) + 2 \pi k, \\ x = -\frac(\pi)(2) + 2\pi k. \end(array) \right.$$

حل معادلة تربيعية ذات ظل

دعونا نحل المعادلة التالية:

$$\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg)))(\tg)^2 2x - 6\tg 2x +5 =0, $$

يرجى ملاحظة أن وسيطة الظل هي `2x` وللحصول على الإجابة النهائية ستحتاج إلى القسمة على `2`. دع `t=\tg 2x` إذن

$$t^2 - 6t +5 =0, $$

$$t_1 = 5، t_2 = 1.$$

استبدال عكسي.

$$\tg x = 5,\tg x = 1.$$

$$\left[\begin(array)(l)2x = \arctan(5)+\pi k, \\ 2x = \frac(\pi)(4) + \pi k. \end(array) \right.$$

الآن دعونا نقسم كلا المتسلسلتين على اثنين لمعرفة ما يساويه `x` بالفعل.

$$\left[\begin(array)(l)x = \frac(1)(2)\arctan(5)+\frac(\pi k)(2), \\ 2x = \frac(\pi) (8) + \frac(\pi k)(2). \end(array) \right.$$

لذلك حصلنا على الجواب.

المعادلة الأخيرة (حاصل ضرب الظل والجيب)

$$\tg x \cdot \sin 2x = 0.$$

ODZ

نظرًا لأن الظل عبارة عن كسر مقامه هو جيب التمام، فإننا في ODZ نحصل على `\cos x \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac(\pi)(2)+\pi k.`

حل

$$\tg x =0 \text( أو ) \sin 2x = 0.$$

هذه المعادلات سهلة الحل. نحن نحصل:

$$x = \pi k \text( أو ) 2x = \pi k,$$

$$x = \pi k \text( أو ) x = \frac(\pi k)(2).$$

الآن الشيء الأكثر إثارة للاهتمام: بما أن لدينا ODZ، فنحن بحاجة إلى إجراء مجموعة مختارة من الجذور. دعونا نحدد سلسلة الجذور الناتجة على شكل دائرة. (كيفية القيام بذلك موضحة بالتفصيل في الفيديو المرفق).

تم وضع علامة ODZ باللون الأزرق، والحلول باللون الأحمر. يمكن ملاحظة أن الإجابة ستكون `x = \pi k`.

وبهذا ينتهي الدرس الخامس. تأكد من التدرب على حل المعادلات. إن معرفة التقدم المحرز في الحل بشكل عام هو شيء واحد، وهو شيء آخر هو تحديد الاتجاه عند حل مشكلة معينة. تدرب تدريجيًا على كل عنصر من عناصر حل المشكلة. الآن الشيء الرئيسي هو تعلم كيفية العمل بكفاءة مع الدائرة المثلثية، وإيجاد الحلول بمساعدتها، ورؤية ODZ وإجراء بدائل للمعادلات التربيعية بشكل صحيح.

مهام للتدريب

حل المعادلات:

• `2 \cos^2 \frac(x)(2) + \sqrt(3) \cos \frac(x)(2) = 0`،
• `3 (\tg)^2 2x + 2\tg 2x -1= 0`,
• `2\cos^2 3x - 5\cos 3x -3 =0`,
• `\sin^2 4x + \sin x - \cos^2x =0` (طبق الهوية المثلثية الأساسية)،
• `4\sin^2 \left(x-\frac(\pi)(3) \right) - 3 =0`.

هذا يكفي. إذا كان لديك أي أسئلة، اسأل فقط! اترك إعجابًا إذا كان عملي مفيدًا :)

ODZ في المعادلات اللوغاريتمية.

انتباه!
هناك اضافية
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين هم "ليسوا جدا..."
ولأولئك الذين "كثيرا ...")

في أي نقطة وقعنا في فخ المثال الابتدائي؟ فقط في لحظة القضاء على اللوغاريتمات. اختفت اللوغاريتمات تمامًا، ومعها اختفت القيود المقابلة على الإجابة. دون أن يترك أثرا. في الرياضيات يسمى هذا توسيع ODZ.

فماذا الآن، التخلي عن حذف اللوغاريتمات!؟ وحينها لن نتمكن من حل أي شيء على الإطلاق... لا، لن نرفض. سنذهب في الاتجاه الآخر! في الرياضيات يتم حل هذه المشكلة بهذه الطريقة.

قبل حل أي معادلة لوغاريتمية، نكتب ODZ. وبعد ذلك، يمكنك أن تفعل ما تريد بالمعادلة. أعني أن الأمر متروك لك لتقرر...) بعد تلقي الإجابة، تحتاج فقط إلى معرفة ما إذا كانت الجذور مدرجة في ODZ. تلك المدرجة هي حلول كاملة وصحيحة. أولئك الذين لم يتم تضمينهم يتم طردهم بلا رحمة. هذه الجذور تكونت خلال عملية الحل بشكل مستقل، فهي زائدة عن الحاجة. يطلق عليهم أحيانًا هذا: جذور غريبة.

كيفية تسجيل ODZ؟

بسيط جدا. دعونا نفحص المثال الأصلي بعناية. نحن لا نحل، ولا نتحول، بالضبط فحص، وبالضبط إبداعي!انه مهم! وهذا سهل أيضًا. نحن نبحث عن الأماكن الخطرة في المثال. هذا قسمللتعبير مع X ، حتى استخراج الجذرمن التعبير مع x و اللوغاريتماتمع X.

نحن لا نعرف ما هو x، أليس كذلك؟ لم نحل المثال بعد. لكننا على قناعة راسخة بأن علامات X هذه ستعطي القسمة على صفر، مع أخذ الجذر التربيعي لعدد سالب وانتهاك القيود المفروضة على اللوغاريتمات من الواضح أنها ليست مناسبة كإجابة.هذه X تحول المثال الأصلي إلى هراء. ولذلك فإن قيم x هذه غير مقبولة. جميع قيم x الأخرى ستشكل ODZ. مجموعة من القيم المقبولة. هذا كل شئ.

في الممارسة العملية، كل هذا أسهل بكثير. نقرأ ونفهم. ولنأخذ نفس المثال:

سجل 3 (س 2 -3) = سجل 3 (2س)

لننظر إلى المثال ونكتشف أنه لا يوجد تقسيمات ولا جذور، ولكن المعادلة تحتوي على تعبيرات بعلامة X داخل اللوغاريتم. ونتذكر أن التعبير اللوغاريتمي الفرعي يجب أن يكون كذلك دائما أكبر من الصفر.هكذا نكتبها مباشرة:

ملحوظة! نحن لا شئلم تقرر! لقد كتبنا ببساطة شرطًا إلزاميًا الجميعالتعبير اللوغاريتمي. ل الجميعاللوغاريتم في المثال تشير علامة النظام (القوس المتعرج) إلى ضرورة استيفاء هذه الشروط معًا.

هذا كل شئ. تم تسجيل ODZ. ليس من الصعب جدا، أليس كذلك؟

ما يجب القيام به مع ODZ؟

لذلك، تم تسجيل ODZ. تم إنجاز نصف المهمة). ماذا تفعل بعد ذلك مع هذا التسجيل؟ هذا هو المكان الذي لدينا فيه خيارات.

الخيار الأول، عالمي:

نحن نحل نظام عدم المساواة الذي كتبناه في ODZ.

نحن نحل ODZ فقط! دعونا لا نتطرق إلى المثال نفسه الآن!نحصل على قيم x المقبولة لهذه المعادلة. أي شخص يعرف كيفية حل أنظمة عدم المساواة سيحصل على الإجابة التالية لتعلمنا التعليمي:

أولئك. كإجابة، يمكننا فقط استخدام علامات X الأكبر من جذر الثلاثة!

هذا كل شيء، تم وضع القش. الآن يمكنك أن تأخذ المثال نفسه. لا تتردد في إزالة اللوغاريتمات وإجراء أي تحويلات أخرى - لقد قمنا بتدوين القيود الأصلية وحفظناها.

بعد حل المعادلة نفسها وتلقي الإجابات × 1 = 3؛ x 2 = -1، من السهل أن نرى أن x 1 = 3 فقط هو المناسب كإجابة، الجذر x 2 = -1 أقل من جذر الثلاثة، فهو غريب. نحن ببساطة نتجاهلها. هذا كل شئ.

إنه جيد لأولئك الذين يعرفون كيفية حل أنظمة عدم المساواة، أليس كذلك؟)

وإذا كان مع حل أنظمة عدم المساواة، إذن... ليس كثيرًا؟ كيف تكون؟! كيف تكون، كيف تكون... تعلم! ولكن إذا كان الأمر يزعجك حقًا... حسنًا، من أجلك فقط! ضوء الطريقة.)

الخيار الثاني، للمعادلات البسيطة فقط.

لذلك، قمنا بكتابة ODZ في شكل نظام من عدم المساواة. قد لا يتم حل هذا النظام. اتركها كما هي، هكذا:

والآن واحدا تلو الآخر نستبدل هذه القيم في نظام متباينات ODZ.

ل س 1 = 3:

نحن فقط نحسب ونحصل على:

كل شيء على ما يرام. كلا عدم المساواة صحيح. هذا يعني أن الترويكا تمر عبر منطقة ODZ وتعود مباشرة.

عوّض بالجذر الثاني x 2 = -1:

نحن نحسب ونحصل على:

هذا غير صحيح بشكل قاطع! ناقص اثنين لا يزيد عن الصفر! وهذا يعني أن هذا الجذر غير مدرج في ODZ. يتم التخلص منه ببساطة ولا يؤدي إلى أي رد. الجميع. لاحظ أنه يتم التخلص من الجذر إذا لم يكن مناسبًا على الأقل واحدعدم المساواة في النظام.

وإليك طريقة الضوء. اسمحوا لي أن أؤكد أن هذه الطريقة بسيطة وواضحة. يتم استبدال حل عدم المساواة بحساب بسيط. جيد جدًا في المعادلات البسيطة. وهي غير مناسبة للمتباينات اللوغاريتمية. يمكنك تخمين لماذا؟

نعم، لأن الإجابة على عدم المساواة عادة لا يكون لها جذر واحد أو جذران، ولكن فاصلة.أولئك. بلا نهايةمجموعة من الأرقام. وفي الطريقة الخفيفة تحتاج إلى استبدال ODZ الجميعالمعاني... اللانهاية. الأمر الذي يبدو صعبًا بعض الشيء، نعم...

لقد نظرنا هنا إلى مثال واحد بسيط فقط. لكن جوهر هذا العمل مع DZ يظل دون تغيير أيالمعادلات اللوغاريتمية.

حسنا، لقد تعاملنا مع ODZ - الفخ الرئيسي في المعادلات اللوغاريتمية. قد يتساءل الأشخاص الأكثر انتباهاً لماذا نجحنا في الدرس السابق بدون ODZ؟ نعم، فقط ODZ لم يؤثر على الإجابة بأي شكل من الأشكال! يمكنك التحقق من ذلك بنفسك. يحدث ذلك. قررنا أننا لا نتذكر أمر ODZ (أو لم نكن نعرف على الإطلاق...)، لكننا حصلنا على الإجابة الصحيحة. محظوظ جدا. أنا أقول أنه يانصيب، إذا قررت دون ODZ...)

والآن - انتبه!

ادخل فيه. وتذكر فكرة واحدة بسيطة. هذا الفكر سيخلصك من الارتباك في قرارك والارتباك في رأسك:

يتكون حل أي معادلة لوغاريتمية من جزأين متساويين. جزء واحد هو حل المعادلة نفسها. والثاني هو حل شروط DL. يتم حل هذه الأجزاء يغض النظرمن بعضهما البعض. يتم دمج النتائج في المرحلة النهائية من الحل.

الكلمة الأساسية هنا هي "يغض النظر". عند حل ODZ، ليس عليك أن تتذكر المعادلة. والعكس صحيح. الشيء الرئيسي هو عدم نسيان مقارنة النتائج في النهاية، والتخلص من الفائض، وكتابة الإجابة الصحيحة.)

دعونا نلخص ذلك في النصائح العملية.

نصائح عملية:

1. أولا وقبل كل شيء، نكتب شروط DL وفقا للأصل مثال.

2. نختار من أين نبدأ الحل. يمكنك البدء بمعادلة، أو يمكنك البدء بشروط ODZ. نختار ما هو أسهل في الحل.

3. بعد حل المعادلة وODZ، نلخص النتائج في إجابة عامة.

4. إذا كان المثال يسمح بذلك، فلا حاجة إلى حل DL. يكفي استبدال نتائج المعادلة بالشروط المكتوبة لـ ODZ والتحقق من الحلول التي تم تمريرها. خذهم للحصول على إجابات.

حسنًا، كالعادة، سنكتشف ذلك. لا يوجد سوى عدد قليل من الأمثلة هنا، ولكنها تغطي الرقائق الأكثر شعبية مع ODZ. تسمح لك بعض الحيل (إذا رأيتها) بتقصير الحل عشرة أضعاف!أنا لا أمزح.

ابحث عن جذر أو مجموع الجذور (إذا كان هناك عدة) للمعادلات:

سجل 2 (س 2 +5س-6) = سجل 2 (4س)

قانون الجنسية (x 3 -7x+2sinx+3) = قانون الجنسية (x 3 -7x+2sinx-4)

الإجابات (في حالة من الفوضى): 2؛ لا توجد حلول. 1؛ -5.

حسنا، كيف يتم ذلك؟ وألاحظ أن المظهر المخيف لبعض الأمثلة هو أمر خادع. يمكن حلها بسهولة.) إذا فعلت كل شيء بسرعة وبشكل صحيح، فيمكنك القيام بمهام أكثر صعوبة.

إذا لم ينجح الأمر، أو استغرق حله وقتًا طويلاً، قم بزيارة القسم 555. وهناك يتم تحليل هذه الأمثلة بالتفصيل. تقنيات الصحيح و سريعحلول. في بعض الأحيان، في المعادلات اللوغاريتمية، لا يلزم حل النصف، أو حتى أكثر، على الإطلاق. ستظل الإجابة صحيحة. نعم نعم! وتركز المادة 555 بشكل خاص على هذا.

يمكنك الآن حل المعادلات اللوغاريتمية البسيطة بشكل موثوق تمامًا. ليس يانصيب، نعم...)

وكيفية اختزال المعادلات المعقدة إلى أبسطها، وكيفية استخدام خصائص اللوغاريتمات والاستبدال المتغير على أكمل وجه، وكيف لا تقع في كمين يسمى "تضييق نطاق ODZ" - كل هذا سيكون في الدروس التالية.

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

شمشورين أ.ف. 1

جاجارينا ن. 1

1 مؤسسة تعليمية بلدية للميزانية "المدرسة الثانوية رقم 31"

يتم نشر نص العمل بدون صور وصيغ.
النسخة الكاملة من العمل متاحة في علامة التبويب "ملفات العمل" بتنسيق PDF

مقدمة

لقد بدأت بالنظر إلى الكثير من المواضيع الرياضية على الإنترنت واخترت هذا الموضوع لأنني أعتقد أن أهمية إيجاد DL تلعب دورًا كبيرًا في حل المعادلات والمسائل. في عملي البحثي، قمت بفحص المعادلات التي يكفي فيها فقط العثور على ODZ والخطر والاختيارية وODZ المحدودة وبعض المحظورات في الرياضيات. الشيء الأكثر أهمية بالنسبة لي هو اجتياز امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات بشكل جيد، ولهذا أحتاج إلى معرفة: متى ولماذا وكيفية العثور على DL. دفعني هذا إلى البحث في الموضوع، والغرض منه هو إظهار أن إتقان هذا الموضوع سيساعد الطلاب على إكمال المهام بشكل صحيح في امتحان الدولة الموحدة. ولتحقيق هذا الهدف، قمت بالبحث في الأدبيات الإضافية ومصادر أخرى. كنت أتساءل عما إذا كان طلاب مدرستنا يعرفون: متى ولماذا وكيف يتم العثور على ODZ. لذلك، أجريت اختبارًا حول موضوع "متى ولماذا وكيف تجد ODZ؟" (تم إعطاء 10 معادلات). عدد الطلاب - 28. تعاملوا معها - 14٪، خطر DD (يؤخذ في الاعتبار) - 68٪، الاختيارية (يؤخذ في الاعتبار) - 36٪.

هدف: تحديد الهوية: متى ولماذا وكيفية العثور على ODZ.

مشكلة:المعادلات والمتباينات التي من الضروري العثور على ODZ فيها لم تجد مكانًا في دورة الجبر للعرض المنهجي، ولهذا السبب غالبًا ما نرتكب أنا وزملائي أخطاء عند حل مثل هذه الأمثلة، وقضاء الكثير من الوقت في حلها، مع نسيانها حول ODZ.

مهام:

1. أظهر أهمية ODZ عند حل المعادلات والمتباينات.
2. إجراء عمل عملي حول هذا الموضوع وتلخيص نتائجه.

أعتقد أن المعرفة والمهارات التي اكتسبتها ستساعدني في حل السؤال: هل من الضروري البحث عن DZ أم لا؟ سأتوقف عن ارتكاب الأخطاء من خلال تعلم كيفية القيام بـ ODZ بشكل صحيح. ما إذا كان بإمكاني القيام بذلك أم لا، فإن الوقت، أو بالأحرى امتحان الدولة الموحدة، سيخبرني.

الفصل 1

ما هو ODZ؟

ODZ هو نطاق القيم المقبولةأي أن هذه كلها قيم للمتغير الذي يكون التعبير منطقيًا له.

مهم.للعثور على ODZ لا نحل مثال! نقوم بحل أجزاء من المثال للعثور على الأماكن المحظورة.

بعض المحظورات في الرياضيات.يوجد عدد قليل جدًا من هذه الإجراءات المحظورة في الرياضيات. لكن ليس الجميع يتذكرهم..

• التعبيرات التي تتكون من علامة تعدد زوجية أو يجب أن تكون>0 أو تساوي الصفر، ODZ:f(x)
• لا يمكن أن يكون التعبير الموجود في مقام الكسر مساويًا للصفر، ODZ:f(x)
• |f(x)|=g(x), ODZ: g(x) 0

كيفية تسجيل ODZ؟بسيط جدا. اكتب دائمًا ODZ بجوار المثال. تحت هذه الحروف المعروفة، وبالنظر إلى المعادلة الأصلية، نكتب قيم x المسموح بها للمثال الأصلي. قد يؤدي تحويل المثال إلى تغيير OD، وبالتالي الإجابة.

خوارزمية العثور على ODZ:

1. تحديد نوع المنع.
2. ابحث عن القيم التي لا يكون فيها التعبير منطقيًا.
3. احذف هذه القيم من مجموعة الأعداد الحقيقية R.

حل المعادلة: =

نطاق القيم المقبولة يحمينا من مثل هذه الأخطاء الجسيمة. لأكون صادقًا، بسبب ODZ بالتحديد يتحول العديد من "طلاب الصدمة" إلى طلاب "C". مع الأخذ في الاعتبار أن البحث عن التعلم وأخذه في الاعتبار يعد خطوة غير مهمة في القرار، فإنهم يتخطون هذه الخطوة، ثم يتساءلون: "لماذا أعطاها المعلم 2؟" نعم، لهذا وضعتها لأن الإجابة خاطئة! هذا ليس "خطأ" من جانب المعلم، ولكنه خطأ محدد للغاية، تمامًا مثل الحساب غير الصحيح أو الإشارة المفقودة.

معادلات إضافية:

أ) = ؛ ب) -42=14س+؛ ج) =0؛ د) |س-5|=2س-2

الفصل 2

ODZ. لماذا؟ متى؟ كيف؟

مجموعة من القيم المقبولة - هناك حل

1. ODZ عبارة عن مجموعة فارغة، مما يعني أن المثال الأصلي لا يحتوي على حلول

• = أودز:

الجواب: لا جذور.

• = أودز:

الجواب: لا جذور.

0، المعادلة ليس لها جذور

الجواب: لا جذور.

أمثلة إضافية:

أ) + =5؛ ب) + =23س-18؛ ج) =0.

1. يحتوي ODZ على رقم واحد أو أكثر، والاستبدال البسيط يحدد الجذور بسرعة.

ODZ: س=2، س=3

تحقق: س=2، +، 0<1, верно

تحقق: س=3، +، 0<1, верно.

الجواب: س = 2، س = 3.

• > ODZ: س=1،س=0

تحقق: x=0, > , 0>0، غير صحيح

تأكد من: x=1, > , 1>0، صحيح

الجواب: س=1.

• + =x ODZ: x=3

تحقق: + =3، 0=3، غير صحيح.

الجواب: لا جذور.

أمثلة إضافية:

أ) = ؛ ب) + =0؛ ج) + =س -1

خطر DD

لاحظ أن تحويلات الهوية يمكن أن:

• لا تؤثر على DL؛
• يؤدي إلى توسيع DL؛
• يؤدي إلى تضييق ODZ.

ومن المعروف أيضًا أنه نتيجة لبعض التحولات التي تغير ODZ الأصلي، يمكن أن يؤدي ذلك إلى اتخاذ قرارات غير صحيحة.

دعونا نوضح كل حالة بمثال.

1) ضع في اعتبارك التعبير x + 4x + 7x، وODZ للمتغير x لهذه هي المجموعة R. دعونا نقدم مصطلحات مماثلة. ونتيجة لذلك، سوف يأخذ الشكل x 2 + 11x. من الواضح أن ODZ للمتغير x لهذا التعبير هو أيضًا مجموعة R. وبالتالي، فإن التحويل الذي تم إجراؤه لم يغير ODZ.

2) خذ المعادلة x+ - =0. في هذه الحالة، ODZ: x≠0. يحتوي هذا التعبير أيضًا على مصطلحات مشابهة، بعد تقليلها نصل إلى التعبير x، حيث يكون ODZ هو R. ما نراه: نتيجة للتحويل، تم توسيع ODZ (تمت إضافة الرقم صفر إلى ODZ الخاص بـ المتغير x للتعبير الأصلي).

3) لنأخذ التعبير. يتم تحديد VA للمتغير x من خلال عدم المساواة (x−5)·(x−2)≥0, VA: (−∞, 2]∪∪/وضع الوصول: مواد من المواقع www.fipi.ru, www.eg

المرفق 1

العمل العملي "ODZ: متى ولماذا وكيف؟"

الملحق 2

إجابات على مهام العمل العملي "ODZ: متى ولماذا وكيف؟"