Odz kvadratna jednadžba. Raspon prihvatljivih vrijednosti: teorija i praksa. Rješavanje kvadratne jednadžbe s tangentom

Znanstveni savjetnik:

1. Uvod 3

2. Povijesna crtica 4

3. “Mjesto” ODZ-a pri rješavanju jednadžbi i nejednadžbi 5-6

4. Značajke i opasnosti ODZ 7

5. ODZ – postoji rješenje 8-9

6. Pronalaženje ODZ-a je dodatni posao.

Ekvivalencija prijelaza 10-13

7. ODZ na Jedinstvenom državnom ispitu 14-15

8. Zaključak 16

9. Književnost 17

1. Uvod

Jednadžbe i nejednadžbe u kojima je potrebno pronaći raspon prihvatljivih vrijednosti nisu našle mjesto u kolegiju algebre sustavnog izlaganja, zbog čega moji vršnjaci možda često griješe pri rješavanju takvih primjera, trošeći puno vremena na rješavanje njih, zaboravljajući na raspon prihvatljivih vrijednosti. Ovo je odredilo problem ovog djela.

U ovom radu namjerava se istražiti fenomen postojanja područja prihvatljivih vrijednosti pri rješavanju jednadžbi i nejednadžbi različitih vrsta; analizirati ovu situaciju, izvući logički ispravne zaključke u primjerima gdje morate uzeti u obzir raspon prihvatljivih vrijednosti.

Zadaci:

Na temelju postojećeg iskustva i teorijske osnove prikupiti osnovne podatke o rasponu dopuštenih vrijednosti i njegovoj primjeni u školskoj praksi; Analizirati rješenja raznih vrsta jednadžbi i nejednadžbi (razlomačko-racionalne, iracionalne, logaritamske, koje sadrže inverzne trigonometrijske funkcije); Provjeriti prethodno dobivene rezultate pri rješavanju raznih jednadžbi i nejednadžbi, uvjeriti se u pouzdanost metoda i metoda za njihovo rješavanje; Odredite "mjesto" raspona prihvatljivih vrijednosti pri rješavanju jednadžbi i nejednakosti; Primijenite istraživačke materijale dobivene u situaciji koja se razlikuje od standardne i koristite ih u pripremi za Jedinstveni državni ispit.

Pri rješavanju ovih problema korišteni su sljedeći metode istraživanja: analiza, statistička analiza, dedukcija, klasifikacija, predviđanje.

Studij je započeo ponavljanjem dobro poznatih funkcija koje se proučavaju u školskom kurikulumu. Opseg mnogih od njih je ograničen.

Raspon prihvatljivih vrijednosti pojavljuje se pri rješavanju: frakcijskih racionalnih jednadžbi i nejednakosti; iracionalne jednadžbe i nejednadžbe; logaritamske jednadžbe i nejednadžbe; jednadžbe i nejednadžbe koje sadrže inverzne trigonometrijske funkcije.

Nakon što smo riješili veliki broj primjera iz raznih izvora (USE udžbenici, udžbenici, literatura), identificirali smo rješenje primjera prema sljedećim principima:

· možete riješiti primjer i uzeti u obzir ODZ (najčešća metoda)

· moguće je riješiti primjer bez uzimanja u obzir ODZ

· samo uzimajući u obzir ODZ moguće je doći do prave odluke.

Proučena je analiza rezultata Jedinstvenog državnog ispita tijekom proteklih godina. Mnogo je grešaka napravljeno u primjerima u kojima je potrebno uzeti u obzir DL. Praktični značaj Rad se sastoji u tome da se njegov sadržaj, ocjene i zaključci mogu koristiti u nastavi matematike u školi, kao priprema za završnu certifikaciju učenika 9. i 11. razreda.

2. Povijesna crtica

Kao i drugi pojmovi matematike, pojam funkcije nije se razvio odmah, već je prošao dug put razvoja. U djelu P. Fermata “Uvod i proučavanje ravnih i čvrstih mjesta” (1636., objavljeno 1679.) kaže se: “Kad god postoje dvije nepoznate veličine u konačnoj jednadžbi, postoji mjesto.” U biti, ovdje je riječ o funkcionalnoj ovisnosti i njenom grafičkom prikazu ("mjesto" kod Fermata znači linija). Proučavanje linija prema njihovim jednadžbama u "Geometriji" R. Descartesa (1637.) također ukazuje na jasno razumijevanje međusobne ovisnosti dviju varijabli. I. Barrow (Lectures on Geometry, 1670.) u geometrijskom obliku utvrđuje međusobnu inverznu prirodu djelovanja diferencijacije i integracije (naravno, bez upotrebe samih pojmova). Već to ukazuje na potpuno jasno ovladavanje pojmom funkcije. Ovaj koncept u geometrijskom i mehaničkom obliku nalazimo i kod I. Newtona. Međutim, pojam "funkcija" prvi put se pojavljuje tek 1692. kod G. Leibniza i, štoviše, ne sasvim u njegovom modernom razumijevanju. G. Leibniz naziva razne segmente povezane s krivuljom (na primjer, apscisu njezinih točaka) funkcijom. U prvom tiskanom tečaju, “Analiza infinitezimala za poznavanje zakrivljenih linija” L'Hopitala (1696.), pojam “funkcija” se ne koristi.

Prvu definiciju funkcije u smislu bliskom suvremenom nalazimo kod I. Bernoullija (1718.): “Funkcija je veličina sastavljena od varijable i konstante.” Ova ne sasvim jasna definicija temelji se na ideji određivanja funkcije analitičkom formulom. Ista se ideja pojavljuje u definiciji L. Eulera, koju je on dao u “Uvodu u analizu beskonačnosti” (1748.): “Funkcija varijabilne količine je analitički izraz sastavljen na neki način od te varijabilne količine i brojeva ili konstantne količine.” No, L. Euleru više nije strano ni moderno shvaćanje funkcije, koje pojam funkcije ne povezuje ni s jednim njezinim analitičkim izrazom. Njegov “Diferencijalni račun” (1755.) kaže: “Kada određene količine ovise o drugima na takav način da kada se potonje promijene i same su podložne promjenama, tada se prve nazivaju funkcijama potonjih.”

Od početka 19. stoljeća pojam funkcije se sve više definira bez spominjanja njezinog analitičkog prikaza. U “Traktatu o diferencijalnom i integralnom računu” (1797.-1802.) S. Lacroix kaže: “Svaka veličina čija vrijednost ovisi o jednoj ili više drugih veličina naziva se funkcija ovih potonjih.” U “Analitičkoj teoriji topline” J. Fouriera (1822.) postoji izraz: “Funkcija f(x) označava potpuno proizvoljnu funkciju, to jest niz zadanih vrijednosti, bez obzira podliježe li općem zakonu ili ne i odgovara svim vrijednostima x sadrži između 0 i neke vrijednosti x" Definicija N. I. Lobačevskog bliska je modernoj: “...Opći pojam funkcije zahtijeva da funkcija iz x navedite broj koji je dan za svaki x i zajedno sa x postupno mijenja. Vrijednost funkcije može biti dana ili analitičkim izrazom, ili uvjetom koji omogućuje testiranje svih brojeva i odabir jednog od njih, ili, konačno, ovisnost može postojati i ostati nepoznata. Tamo je također rečeno malo niže: "Širok pogled na teoriju dopušta postojanje ovisnosti samo u smislu da se brojevi jedan s drugim u vezi shvaćaju kao da su dati zajedno." Tako je suvremena definicija funkcije, bez pozivanja na analitički zadatak, obično pripisana P. Dirichletu (1837.), više puta predlagana prije njega:

y ima funkciju varijable x (na segmentu https://pandia.ru/text/78/093/images/image002_83.gif" width="95" height="27 src=">. Kvadriranjem obje strane jednadžbe, riješimo se iracionalnosti, ali obratimo pozornost na činjenicu da kvadriranje, općenito govoreći, nije ekvivalentna transformacija, a ako su korijeni cijeli, onda to nije teško je provjeriti, ali u nekim slučajevima je nezgodno izvršiti provjeru. Zatim upotrijebite redukciju ove jednadžbe na ekvivalentni sustav:

.

U ovom slučaju nema potrebe za pronalaženjem ODZ: iz prve jednadžbe slijedi da dobivene vrijednosti x zadovoljavaju sljedeću nejednakost: https://pandia.ru/text/78/093/images/image005_34. gif" width="107" height="27 src="> je sustav:

Budući da u jednadžbu ulaze jednako, onda umjesto nejednakosti možete uključiti nejednakost https://pandia.ru/text/78/093/images/image010_15.gif" width="220" height="49">

https://pandia.ru/text/78/093/images/image015_10.gif" width="239" height="51">

3. Rješavanje logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi.

3.1. Shema za rješavanje logaritamske jednadžbe

Ali dovoljno je provjeriti samo jedan uvjet ODZ-a.

3.2..gif" width="115" height="48 src=">.gif" width="115" height="48 src=">

4. Trigonometrijske jednadžbe oblika su ekvivalentni sustavu (umjesto nejednakosti, možete uključiti nejednakost u sustav https://pandia.ru/text/78/093/images/image025_2.gif" width="377" height="23"> su ekvivalentni na jednadžbu

4. Značajke i opasnosti raspona dopuštenih vrijednosti

U nastavi matematike, od nas se traži da pronađemo DL u svakom primjeru. Pritom, prema matematičkoj biti stvari, pronalaženje ODZ-a uopće nije obvezno, često nepotrebno, a ponekad i nemoguće - i sve to bez ikakve štete po rješenje primjera. S druge strane, često se događa da školarci nakon rješavanja primjera zaborave uzeti u obzir DL, zapišu ga kao konačni odgovor i uzmu u obzir samo neke uvjete. Ta je okolnost dobro poznata, ali “rat” se nastavlja svake godine i, čini se, trajat će još dugo.

Razmotrimo, na primjer, sljedeću nejednakost:

Ovdje se traži ODZ i rješava nejednakost. Međutim, prilikom rješavanja ove nejednadžbe školarci ponekad vjeruju da je sasvim moguće bez traženja DL-a, točnije, moguće je bez uvjeta

Zapravo, za dobivanje točnog odgovora potrebno je uzeti u obzir i nejednakost , i .

Ali, na primjer, rješenje jednadžbe: https://pandia.ru/text/78/093/images/image033_3.gif" width="79 height=75" height="75">

što je ekvivalentno radu s ODZ-om. Međutim, u ovom primjeru takav rad je nepotreban - dovoljno je provjeriti ispunjenost samo dvije od ovih nejednakosti, i to bilo koje dvije.

Podsjetimo se da se svaka jednadžba (nejednadžba) može svesti na oblik . ODZ je jednostavno domena definicije funkcije na lijevoj strani. Da se ovo područje mora pratiti proizlazi iz definicije korijena kao broja iz domene definiranja dane funkcije, dakle iz ODZ-a. Evo smiješnog primjera na ovu temu..gif" width="20" height="21 src="> ima domenu definicije skupa pozitivnih brojeva (ovo je, naravno, dogovor da se razmatra funkcija s , ali razumno), a onda -1 nije korijen.

5. Raspon prihvatljivih vrijednosti – postoji rješenje

I konačno, u puno primjera, pronalaženje ODZ-a omogućuje vam da dobijete odgovor bez glomaznih izračuna, ili čak usmeno.

1. OD3 je prazan skup, što znači da izvorni primjer nema rješenja.

1) 2) 3)

2. B ODZ pronađen je jedan ili više brojeva, a jednostavnom zamjenom brzo se utvrđuju korijeni.

1) , x=3

2)Ovdje u ODZ-u postoji samo broj 1 , a nakon zamjene jasno je da to nije korijen.

3) U ODZ-u postoje dva broja: 2 I 3 , i oba su prikladna.

4) > U ODZ-u postoje dva broja 0 I 1 , i samo odgovara 1 .

ODZ se može učinkovito koristiti u kombinaciji s analizom samog izraza.

5) < ОДЗ: Но в правой части неравенства могут быть только положительные числа, поэтому оставляем x=2. Zatim zamijenimo u nejednadžbu 2 .

6) Iz ODZ-a slijedi da, gdje imamo ..gif" width="143" height="24"> Iz ODZ-a imamo: . Ali tada i . Budući da nema rješenja.

Iz ODZ-a imamo:..gif" width="53" height="24 src=">.gif" width="156" height="24"> ODZ: . Od tad

Na drugoj strani,. Jednakost je moguća samo kada su obje strane jednadžbe jednake 0 , tj. kada x=1. Nakon zamjene ove vrijednosti x Uvjereni smo da rješenja nema.

ODZ:. Razmotrimo jednadžbu na intervalu [-1; 0).

Ispunjava sljedeće nejednakosti https://pandia.ru/text/78/093/images/image072_0.gif" width="68" height="24 src=">.gif" width="123" height="24 src="> i nema rješenja. S funkcijom i https://pandia.ru/text/78/093/images/image077_0.gif" width="179" height="25">. ODZ: x>2. pri čemu . To znači da je početna jednakost nemoguća i da nema rješenja.

Sada dajmo primjer koji je predložio učitelj na satu algebre. Nismo to mogli odmah riješiti, ali kada smo pronašli ODZ, sve je postalo jasno.

Pronađite cjelobrojni korijen jednadžbe https://pandia.ru/text/78/093/images/image080_0.gif" width="124" height="77">

Cjelobrojno rješenje moguće je samo ako x=3 I x=5. Provjerom nalazimo da je korijen x=3 ne odgovara, pa je odgovor: x=5.

6. Pronalaženje raspona prihvatljivih vrijednosti je dodatni posao. Ekvivalencija prijelaza.

Možete dati primjere gdje je situacija jasna čak i bez pronalaska DZ.

1.

Jednakost je nemoguća, jer pri oduzimanju većeg izraza od manjeg rezultat mora biti negativan broj.

2. .

Zbroj dviju nenegativnih funkcija ne može biti negativan.

Također ću dati primjere gdje je pronalaženje ODZ-a teško, a ponekad jednostavno nemoguće.

I na kraju, potrage za ODZ vrlo su često samo dodatni posao, bez kojeg možete proći, čime dokazujete svoje razumijevanje onoga što se događa. Ovdje se može navesti ogroman broj primjera, pa ćemo odabrati samo one najtipičnije. Glavna metoda rješenja u ovom slučaju su ekvivalentne transformacije pri prijelazu s jedne jednadžbe (nejednadžbe, sustava) na drugu.

1.. ODZ nije potreban, jer, pronašavši te vrijednosti x, na kojem x2=1, ne možemo dobiti x=0.

2. . ODZ nije potreban, jer saznajemo kada je radikalni izraz jednak pozitivnom broju.

3. . ODZ nije potreban iz istih razloga kao u prethodnom primjeru.

4.

ODZ nije potreban, jer je radikalni izraz jednak kvadratu neke funkcije, pa stoga ne može biti negativan.

5.

6. . ODZ nije potreban, jer je izraz uvijek pozitivan.

7. Za rješavanje je dovoljno samo jedno ograničenje za radikalni izraz. Zapravo, iz pisanog mješovitog sustava slijedi da je drugi radikalni izraz nenegativan.

8. DZ nije potreban iz istih razloga kao u prethodnom primjeru.

9. ODZ nije potreban jer je dovoljno da su dva od tri izraza pod logaritmima pozitivna da bi se osigurala pozitivnost trećeg.

10. .gif" width="357" height="51"> ODZ nije potreban iz istih razloga kao u prethodnom primjeru.

Međutim, valja napomenuti da pri rješavanju metodom ekvivalentnih transformacija pomaže poznavanje ODZ (i svojstava funkcija).

Evo nekoliko primjera.

1. . OD3, što implicira da je izraz na desnoj strani pozitivan, te je u ovom obliku moguće napisati jednadžbu koja je ekvivalentna ovoj. Dobiveni rezultat mora se provjeriti s ODZ-om.

2. ODZ: . Ali tada, i pri rješavanju ove nejednadžbe, nije potrebno razmatrati slučaj kada je desna strana manja od 0.

3. . Iz ODZ-a proizlazi da je , a time i slučaj kada je , isključen.

Općenito, čini se da je učinkovitost metode ekvivalentnih transformacija jasna. Uz njihovu pomoć dolazimo do odgovora bez traženja DZ. Znači li to da postoji neka univerzalna metoda i da je samo treba naučiti koristiti? Ali nije tako. Nekoliko je razloga za to. Ima dosta teorema o ekvivalentnim transformacijama, nije ih lako zapamtiti, a njihovo sigurno svladavanje nije lako. Često, korištenjem ekvivalentnih transformacija, počnete stavljati ovaj znak na sve prijelaze iz jedne jednadžbe u drugu, i stvarno ekvivalentne i ne baš. Ti se teoremi brzo zaboravljaju.

Još jedna poteškoća je što prilikom pisanja ekvivalencije možete zaboraviti napisati sve uvjete koji je jamče, ali to ne mora ni na koji način utjecati na odgovor. Evo dva takva primjera:

1. Prijelaz općenito izgleda ovako:

U ovom primjeru izraz ispod znaka logaritma s desne strane uvijek je pozitivan. Dakle, u odnosu na ovaj primjer, onaj dio uvjeta ekvivalencije koji je napisan kao skup ne dodaje ništa. Ali donijevši takvu odluku, možete jednostavno zaboraviti na ovu ukupnost.

Dva su moguća slučaja: 0<<1 и >1.

To znači da je izvorna nejednadžba ekvivalentna sljedećem skupu sustava nejednakosti:

Prvi sustav nema rješenja, ali iz drugog dobivamo: x<-1 – решение неравенства.

Razumijevanje uvjeta ekvivalencije zahtijeva poznavanje nekih suptilnosti. Na primjer, zašto su sljedeće jednadžbe ekvivalentne:

Ili

I na kraju, možda najvažnije. Činjenica je da ekvivalencija jamči točnost odgovora ako se izvrše neke transformacije same jednadžbe, ali se ne koristi za transformacije samo u jednom dijelu. Kratice i uporaba različitih formula u jednom od dijelova nisu obuhvaćeni teoremima ekvivalencije. U radu su navedeni neki primjeri ove vrste. Pogledajmo još neke primjere.

1. Ova odluka je prirodna. S lijeve strane, prema svojstvu logaritamske funkcije, prelazimo na izraz. Kao rezultat toga dobivamo jednadžbu. Ekvivalentan je takvom sustavu

Nakon rješavanja ovog sustava dobivamo rezultat (-2 i 2), koji međutim nije odgovor, jer broj -2 nije uključen u ODZ. Dakle, trebamo li uspostaviti ODS? Naravno da ne. Ali budući da smo u rješenju koristili određeno svojstvo logaritamske funkcije, onda smo dužni dati uvjete pod kojima je ono zadovoljeno. Takav uvjet je pozitivnost izraza pod znakom logaritma..gif" width="65" height="48">.

2. ..gif" width="143" height="27">.gif" width="147" height="24">dodajte uvjet i odmah ćete vidjeti da je samo broj https://pandia.ru/ zadovoljava ovaj uvjet text/78/093/images/image129.gif" width="117" height="27">) pokazalo je 52% ispitanika. Jedan od razloga za tako niske stope je činjenica da mnogi diplomanti nisu odabrali korijene dobivene iz jednadžbe nakon kvadriranja.

3) Razmotrimo, na primjer, rješenje jednog od problema C1: “Pronađi sve vrijednosti x za koje su točke grafa funkcije leže iznad odgovarajućih točaka na grafu funkcije. Zadatak se svodi na rješavanje razlomačke nejednadžbe koja sadrži logaritamski izraz. Poznajemo metode za rješavanje takvih nejednakosti. Najčešći od njih je metoda intervala. Međutim, prilikom njegove uporabe ispitanici rade razne pogreške. Pogledajmo najčešće pogreške na primjeru nejednakosti:

1. Maturanti točno nalaze DL rješavajući sustav nejednadžbi:

gdje x . Zatim, množenjem obje strane nejednakosti zajedničkim nazivnikom, dobivamo nejednakost: log(23 - 10 x

2..gif" width="124" height="29">. Sljedeće dobivaju x– 10 +; . Rješavanjem ove jednadžbe i uvažavanjem uvjeta maturanti zaključuju da jednadžba nema rješenja.

3. Ispitivači pravilno transformiraju jednadžbu u oblik

i razmotrimo dva slučaja: x 10 i x < 10. Они отмечают, что в первом случае решений нет, а во втором – корнями являются числа –1 и . При этом выпускники не учитывают условие x < 10.

8. Zaključak

U ovom smo radu pokušali istražiti fenomen postojanja niza prihvatljivih vrijednosti pri rješavanju jednadžbi i nejednadžbi raznih vrsta, analizirali tu situaciju i izveli logički ispravne zaključke u primjerima gdje je potrebno uzeti u obzir raspon prihvatljivih vrijednosti. Za mene se tema "Područje dopuštenih vrijednosti" činila vrlo složenom i nerazumljivom, au školskim udžbenicima ovoj temi nije dato odgovarajuće mjesto, praktički nije pokrivena, iako zadaci Jedinstvenog državnog ispita sadrže zadatke o rješavanju jednadžbi i nejednakosti u kojima potrebno je pronaći raspon dopuštenih vrijednosti . U procesu rada suočili smo se s činjenicom da literatura o ovoj temi nije dovoljna za cjelovito i sustavno proučavanje. Smatramo da ova tema zahtijeva veliku pozornost matematičara i metodičara.

Nakon što smo riješili mnogo primjera iz raznih izvora, možemo izvući neke zaključke: ne postoji univerzalna metoda za rješavanje jednadžbi i nejednadžbi. Svaki put, ako želite razumjeti što radite i ne ponašati se mehanički, razmišljate: koju biste metodu rješenja trebali odabrati, konkretno, trebate li tražiti raspon prihvatljivih vrijednosti ili ne? Vjerujemo da će stečeno iskustvo pomoći u rješavanju ove dileme. Učenici će prestati griješiti ako nauče pravilno koristiti raspon prihvatljivih vrijednosti. Hoćemo li to uspjeti, vrijeme će pokazati, odnosno nadolazeći Jedinstveni državni ispit 2010.

Nadamo se da će prezentirani rad biti zanimljiv i koristan učiteljima i učenicima, te da će obrazovne teškoće prestati biti “nekakav loš ODZ” za školarce.

9. Književnost

1. itd. “Algebra i počeci analize 10-11” knjiga zadataka i udžbenik, M.: “Prosveshchenie”, 2002.

2. “Priručnik za osnovnu matematiku”. M.: "Znanost", 1966.

3. List “Matematika” br.46,

4. List „Matematika“ br.

5. List „Matematika“ br.

6. “Povijest matematike u školi, VII-VIII razred.” M.: “Prosvjetljenje”, 1982.

7. itd. “Najpotpunije izdanje opcija za stvarne zadatke jedinstvenog državnog ispita: 2009/FIPI” - M.: “Astrel”, 2009.

8. i drugi “Unified State Examination. Matematika. Univerzalni materijali za pripremu studenata / FIPI" - M.: "Intelekt centar", 2009.

9. i dr. “Algebra i počeci analize 10-11.” M.: “Prosvjetljenje”, 2007.

10. , “Radionica rješavanja zadataka iz školske matematike (radionica iz algebre).” M.: Obrazovanje, 1976.

11. “25 000 sati matematike.” M.: “Prosvjetljenje”, 1993.

12. “Pripremamo se za matematičku olimpijadu.” M.: "Ispit", 2006.

13. “Enciklopedija za djecu “MATEMATIKA”” svezak 11, M.: Avanta +; 2002. godine.

14. Materijali sa stranica http://www. *****, http://www. *****.

Internet portal Wikipedia http://ru. wikipedija. org/wiki/Numeric_function (Pristupljeno 05.03.2010.).

, “Radionica rješavanja zadataka iz školske matematike (radionica iz algebre).” M.: Obrazovanje, 1976, str.64.

Pitanje studenta na Answers@***** http://otvet. *****/question/8166619/ (Datum pregleda 22.03.2010.)

Metodološko pismo "O korištenju rezultata Jedinstvenog državnog ispita 2008. u nastavi matematike u obrazovnim ustanovama srednjeg (potpunog) općeg obrazovanja" http://www. ***** (Datum pregleda 17.12.2009.)

Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne informacije, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Također možemo koristiti osobne podatke u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim stranama

Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - za otkrivanje Vaših osobnih podataka. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.

Čestitamo, dragi čitatelji!

Napokon smo stigli rješavanje trigonometrijskih jednadžbi. Sada ćemo riješiti nekoliko jednadžbi koje su slične zadacima Jedinstvenog državnog ispita. Naravno, na pravom ispitu zadaci će biti malo teži, ali bit će ostati ista.

Prvo, pogledajmo jednostavnu jednadžbu (već smo riješili slične u prethodnim lekcijama, ali njihovo ponavljanje je uvijek korisno).

$$(2\cos x + 1) (2\sin x - \sqrt(3)) = 0.$$

Mislim da su objašnjenja kako odlučiti nepotrebna.

$$2\cos x + 1 = 0 \text( ili ) 2\sin x - \sqrt(3) =0,$$

$$\cos x = -\frac(1)(2) \text( ili ) \sin x = \frac(\sqrt(3))(2),$$

Oznake vodoravne isprekidane linije rješenje za jednadžbu sa sinusom, okomito - s kosinusom.

Dakle, konačno rješenje može se napisati, na primjer, ovako:

$$\lijevo[ \begin(array)(l)x= \pm \frac(2\pi)(3),\\x = \frac(\pi)(3)+2\pi k. \end(niz)\desno.$$

Trigonometrijska jednadžba s ODZ

$$(1+\cos x)\lijevo(\frac(1)(\sin x) - 1\desno) = 0.$$

Važna razlika u ovom primjeru je da se sinus pojavljuje u nazivniku. Iako smo slične jednadžbe malo rješavali u prethodnim lekcijama, vrijedi se detaljnije zadržati na ODZ-u.

ODZ

`\sin x \neq 0 \desna strelica x \neq \pi k`. Kada označimo rješenje na krugu, označit ćemo ovaj niz korijena posebno probušenim (otvorenim) točkama kako bismo pokazali da `x` ne može imati takve vrijednosti.

Riješenje

Svedimo na zajednički nazivnik, a zatim naizmjenično izjednačimo obje zagrade s nulom.

$$(1+\cos x)\lijevo(\frac(1-\sin x)(\sin x)\desno) = 0,$$

$$1+\cos x = 0 \text( ili ) \frac(1-\sin x)(\sin x) = 0,$$

$$\cos x = -1 \text( ili ) \sin x=1.$$

Nadam se da rješavanje ovih jednadžbi neće predstavljati poteškoće.

Nizovi korijena - rješenja jednadžbe - prikazani su ispod s crvenim točkama. ODZ je na slici označen plavom bojom.

Dakle, razumijemo da rješenje jednadžbe `\cos x = -1` ne zadovoljava ODZ.
Odgovor će biti samo niz korijena `x = \frac(\pi)(2) + 2\pi k`.

Rješavanje kvadratne trigonometrijske jednadžbe

Sljedeća točka u našem programu je rješavanje kvadratne jednadžbe. U tome nema ništa komplicirano. Glavna stvar je vidjeti kvadratnu jednadžbu i izvršiti zamjenu kao što je prikazano u nastavku.

$$3\sin^2 x + \sin x =2,$$

$$3\sin^2 x + \sin x -2=0.$$

Neka je `t= \sin x`, tada dobivamo:

$$3t^2 + t-2=0.$$

$$t_1 = \frac(2)(3), t_2 = -1.$$

Napravimo obrnutu zamjenu.

$$\sin x = \frac(2)(3) \text( ili ) \sin x = -1.$$

$$\left[\begin(array)(l)x = \arcsin \frac(2)(3) + 2\pi k, \\ x = \pi - \arcsin \frac(2)(3) + 2 \pi k, \\ x = -\frac(\pi)(2) + 2\pi k. \end(niz) \desno.$$

Rješavanje kvadratne jednadžbe s tangentom

Riješimo sljedeću jednadžbu:

$$\nova naredba(\tg)(\mathop(\mathrm(tg)))(\tg)^2 2x - 6\tg 2x +5 =0, $$

Imajte na umu da je argument tangente "2x" i da biste dobili konačni odgovor morat ćete podijeliti s "2". Neka je tada `t=\tg 2x`

$$t^2 - 6t +5 =0, $$

$$t_1 = 5, t_2 = 1.$$

Obrnuta zamjena.

$$\tg x = 5,\tg x = 1.$$

$$\left[\begin(array)(l)2x = \arctan(5)+\pi k, \\ 2x = \frac(\pi)(4) + \pi k. \end(niz) \desno.$$

Podijelimo sada oba niza s dva da saznamo koliko je `x` zapravo jednako.

$$\left[\begin(array)(l)x = \frac(1)(2)\arctan(5)+\frac(\pi k)(2), \\ 2x = \frac(\pi) (8) + \frac(\pi k)(2). \end(niz) \desno.$$

Pa smo dobili odgovor.

Zadnja jednadžba (umnožak tangensa i sinusa)

$$\tg x \cdot \sin 2x = 0.$$

ODZ

Budući da je tangens razlomak čiji je nazivnik kosinus, tada u ODZ-u dobivamo da je `\cos x \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac(\pi)(2)+\pi k.`

Riješenje

$$\tg x =0 \text( ili ) \sin 2x = 0.$$

Ove jednadžbe je lako riješiti. Dobivamo:

$$x = \pi k \text( ili ) 2x = \pi k,$$

$$x = \pi k \text( ili ) x = \frac(\pi k)(2).$$

Sada najzanimljivije: budući da smo imali ODZ, moramo izvršiti selekciju korijena. Označimo dobiveni niz korijena na kružnici. (Kako to učiniti detaljno je prikazano u priloženom videu.)

Plavom bojom označen je ODZ, crvenom bojom rješenja. Može se vidjeti da će odgovor biti `x = \pi k`.

Ovo završava petu lekciju. Svakako vježbajte rješavanje jednadžbi. Jedna je stvar znati napredovanje rješenja općenito, a druga je stvar orijentirati se kada rješavate određeni problem. Postupno vježbajte svaki element rješavanja problema. Sada je glavna stvar naučiti kako kompetentno raditi s trigonometrijskim krugom, pronaći rješenja uz njegovu pomoć, vidjeti ODZ i ispravno izvršiti zamjene za kvadratne jednadžbe.

Zadaci za trening

Riješite jednadžbe:

• `2 \cos^2 \frac(x)(2) + \sqrt(3) \cos \frac(x)(2) = 0`,
• `3 (\tg)^2 2x + 2\tg 2x -1= 0`,
• `2\cos^2 3x - 5\cos 3x -3 =0`,
• `\sin^2 4x + \sin x - \cos^2x =0` (primijeni osnovni trigonometrijski identitet),
• `4\sin^2 \lijevo(x-\frac(\pi)(3) \desno) - 3 =0`.

To je dovoljno. Ako imate pitanja, samo pitajte! Ostavite like ako je moj rad bio koristan :)

ODZ u logaritamskim jednadžbama.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijali u posebnom odjeljku 555.
Za one koji su jako "ne baš..."
I za one koji "jako...")

U kojem trenutku smo upali u zamku elementarnog primjera? Upravo u trenutku eliminacije logaritama. Logaritmi su potpuno nestali, a zajedno s njima i odgovarajuća ograničenja odgovora. Bez traga. U matematici se to zove proširenje ODZ-a.

I što sad, odustati od eliminacije logaritama!? Onda nećemo moći ništa riješiti... Ne, nećemo odbiti. Ići ćemo drugim putem! U matematici se ovaj problem rješava na ovaj način.

Prije rješavanja bilo koje logaritamske jednadžbe zapišemo ODZ. Nakon toga, možete raditi što god želite s jednadžbom. Mislim, na vama je da odlučite ...) Nakon što ste dobili odgovor, samo trebate saznati jesu li korijeni uključeni u ODZ. Uključena su cjelovita, ispravna rješenja. Oni koji nisu uključeni nemilosrdno se izbacuju. Ovi korijeni su formirani tijekom procesa rješenja neovisno; Ponekad se nazivaju ovako: stranih korijena.

Kako snimiti ODZ?

Jako jednostavno. Pažljivo proučimo izvorni primjer. Mi ne rješavamo, mi ne transformiramo, točno pregledati, i točno izvornik! To je važno! I to je jednostavno. U primjeru tražimo opasna mjesta. Ovaj podjela na izraz sa X, čak i vađenje korijena iz izraza s x i logaritmi sa X-ovima.

Ne znamo koliko je x, zar ne? Još nismo riješili primjer. Ali čvrsto smo uvjereni da oni X-ovi koji će dati dijeljenje s nulom, vađenje kvadratnog korijena iz negativnog broja i kršenje ograničenja logaritma očito nisu prikladni kao odgovor. Ovi X-ovi pretvaraju izvorni primjer u besmislicu. Stoga su takve vrijednosti x neprihvatljive. Sve druge vrijednosti x će činiti ODZ. Raspon prihvatljivih vrijednosti. To je sve.

U praksi je sve to mnogo lakše izvesti. Čitamo i razumijemo. Uzmimo isti primjer:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Pogledajmo primjer i otkrijemo da nema dijeljenja, nema korijena, ali jednadžba sadrži izraze s X unutar logaritma. Podsjećamo da sublogaritamski izraz mora biti uvijek veće od nule. Ovako to izravno pišemo:

Bilješka! Mi Ništa nisam odlučio! Jednostavno smo zapisali obavezni uvjet na svi sublogaritamski izraz. Za svatko logaritam u primjeru. Znak sustava (vitičasta zagrada) označava da ovi uvjeti moraju biti ispunjeni istovremeno.

To je sve. ODZ snimljeno. Nije tako teško, zar ne?

Što učiniti s ODZ-om?

Dakle, snimljen je ODZ. Pola posla je obavljeno). Što dalje s ovom snimkom? Ovdje imamo mogućnosti.

Opcija prva, univerzalna:

Rješavamo sustav nejednadžbi koji smo zapisali za ODZ.

Rješavamo samo ODZ! Ne dirajmo za sada sam primjer! Dobivamo vrijednosti x koje su prihvatljive za ovu jednadžbu. Svatko tko zna rješavati sustave nejednakosti dobit će sljedeći odgovor za naš DL:

Oni. Kao odgovor možemo koristiti samo X koji su veći od korijena iz tri!

To je to, slamke su se polagale. Sada možete uzeti sam primjer. Slobodno uklonite logaritme i napravite sve druge transformacije - zapisali smo izvorna ograničenja i spremili ih.

Nakon što je riješio samu jednadžbu i dobio odgovore x 1 = 3; x 2 = -1, lako je vidjeti da je samo x 1 = 3 prikladan kao odgovor. Jednostavno ga odbacujemo. To je sve.

Dobro je za one koji znaju rješavati sustave nejednakosti, zar ne?)

A ako s rješavanjem sustava nejednadžbi, onda... ne toliko? Kako biti?! Kako biti, kako biti... Uči! Ali ako ti stvarno smeta... Dobro, samo za tebe! Metoda-svjetlo.)

Druga opcija, samo za jednostavne jednadžbe.

Dakle, ODZ smo zapisali u obliku sustava nejednakosti. Ovaj sustav možda neće biti riješen. Ostavite kako jest, ovako:

A sada, jedan po jedan Zamjenjujemo ove vrijednosti u sustav ODZ nejednakosti.

Za x 1 = 3:

Samo prebrojimo i dobijemo:

Sve je u redu. Obje nejednakosti su istinite. To znači da trojka prolazi kroz ODZ i ide ravno natrag.

Zamijenite drugi korijen x 2 = -1:

Računamo i dobivamo:

Ovo je kategorički lažno! Minus dva nije više od nule! To znači da ovaj korijen nije uključen u ODZ. Jednostavno se baci i ne izaziva nikakav odgovor. Svi. Imajte na umu da se korijen izbacuje ako barem ne stane jedan nejednakost sustava.

Evo svjetlosne metode. Dopustite mi da naglasim da je ova metoda jednostavna i očigledna. Rješavanje nejednadžbi zamjenjuje se jednostavnim računanjem. Vrlo dobar u jednostavnim jednadžbama. I nije pogodan za logaritamske nejednakosti. Možete li pogoditi zašto?

Da, jer odgovor na nejednakost obično nema jedan ili dva korijena, već interval. Oni. beskrajan skup brojeva. A u svjetlosnoj metodi trebate zamijeniti u ODZ svi značenja... Beskonačnost. Što se čini malo teškim, da...

Ovdje smo pogledali samo jedan jednostavan primjer. Ali suština takvog rada s DZ ostaje nepromijenjena za bilo koji logaritamske jednadžbe.

Pa, riješili smo ODZ - glavnu zamku u logaritamskim jednadžbama. Najpažljiviji se mogu zapitati zašto smo u prethodnoj lekciji uspjeli bez ODZ-a? Da, samo što ODZ ni na koji način nije utjecao na odgovor! Možete sami provjeriti. Događa se. Zaključili smo da se ne sjećamo ODZ-a (ili da uopće ne znamo...), ali smo ipak dobili točan odgovor. Tako sretan. Kažem lutrija, ako se odlučiš bez ODZ-a...)

A sada - pozor!

Uđi u to. I zapamtite jednu jednostavnu misao. Ova misao će vas spasiti od zbrke u vašoj odluci i zbrke u vašoj glavi:

Rješenje bilo koje logaritamske jednadžbe sastoji se od dva jednaka dijela. Jedan dio je rješavanje same jednadžbe. Drugi je rješavanje uvjeta DL-a. Ovi dijelovi su riješeni bez obzira na to jedni od drugih. Rezultati se kombiniraju u završnoj fazi rješenja.

Ključna riječ ovdje je "bez obzira". Kada rješavate ODZ, ne morate se sjećati jednadžbe. I obrnuto. Glavna stvar je ne zaboraviti usporediti rezultate na samom kraju, baciti višak i zapisati točan odgovor.)

Sažmimo to u praktične savjete.

Praktični savjeti:

1. Prije svega, zapisujemo uvjete DL prema izvorniku primjer.

2. Odabiremo gdje ćemo započeti rješenje. Možete početi s jednadžbom ili možete početi s uvjetima ODZ-a. Biramo ono što je lakše riješiti.

3. Nakon rješavanja jednadžbe i ODZ-a rezultate sažimamo u opći odgovor.

4. Ako primjer dopušta, DL se ne mora rješavati. Rezultate jednadžbe dovoljno je zamijeniti u napisane uvjete ODZ-a i provjeriti koja rješenja prolaze. Uzmite ih za odgovore.

Pa, kao i obično, mi ćemo to shvatiti. Ovdje je samo nekoliko primjera, ali oni pokrivaju najpopularnije čipove s ODZ-om. Neki trikovi (ako ih vidite) omogućuju vam da skratite rješenje deseterostruko! Ne šalim se.

Pronađite korijen ili zbroj korijena (ako ih ima više) jednadžbi:

log 2 (x 2 +5x-6) = log 2 (4x)

ln(x 3 -7x+2sinx+3) = ln(x 3 -7x+2sinx-4)

Odgovori (u neredu): 2; nema rješenja; 1; -5.

Pa, kako je? Napominjem da zastrašujući izgled nekih primjera vara. Lako se rješavaju.) Ako ste sve napravili brzo i ispravno, možete preuzeti i teže zadatke.

Ako nije uspjelo ili je trebalo dugo da se riješi, posjetite odjeljak 555. Tamo su ti primjeri detaljno analizirani. Tehnike za ispravan i brzo rješenja. Ponekad u logaritamskim jednadžbama pola, pa čak i više, uopće ne treba rješavati. Odgovor će i dalje biti točan. Da da! Članak 555 stavlja poseban naglasak na ovo.

Sada možete vrlo pouzdano riješiti jednostavne logaritamske jednadžbe. Nije lutrija, da...)

A kako složene jednadžbe svesti na najjednostavnije, kako u potpunosti iskoristiti svojstva logaritama i zamjene varijabli, kako ne upasti u zasjedu zvanu "Sužavanje ODZ" - sve će to biti u sljedećim lekcijama.

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)

Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Šamšurin A.V. 1

Gagarina N.A. 1

1 Općinska proračunska obrazovna ustanova “Srednja škola br. 31”

Tekst rada je objavljen bez slika i formula.
Puna verzija rada dostupna je u kartici "Radne datoteke" u PDF formatu

Uvod

Započeo sam tako što sam pregledao mnogo matematičkih tema na internetu i odabrao ovu temu jer vjerujem da važnost pronalaženja DL-a igra veliku ulogu u rješavanju jednadžbi i problema. U svom istraživačkom radu ispitivao sam jednadžbe u kojima je dovoljno samo pronaći ODZ, opasnost, izbornost, ograničenu ODZ te neke zabrane u matematici. Najvažnije mi je dobro položiti Jedinstveni državni ispit iz matematike, a za to moram znati: kada, zašto i kako pronaći DL. To me potaknulo na istraživanje teme, čija je svrha bila pokazati da će svladavanje ove teme pomoći studentima da pravilno rješavaju zadatke na Jedinstvenom državnom ispitu. Kako bih postigao taj cilj, istražio sam dodatnu literaturu i druge izvore. Zanimalo me znaju li učenici naše škole: kada, zašto i kako pronaći ODZ. Stoga sam proveo test na temu "Kada, zašto i kako pronaći ODZ?" (dato je 10 jednadžbi). Broj učenika je 28. Svladalo ih je - 14%, opasnost od DD (uzelo u obzir) - 68%, izbornost (uzelo u obzir) - 36%.

Cilj: identifikacija: kada, zašto i kako pronaći ODZ.

Problem: jednadžbe i nejednadžbe u kojima je potrebno pronaći ODZ nisu našle mjesta u kolegiju algebre za sustavno izlaganje, zbog čega vjerojatno moji vršnjaci i ja često griješimo pri rješavanju takvih primjera, trošeći puno vremena na njihovo rješavanje, a pritom zaboravljamo o ODZ-u.

Zadaci:

1. Pokazati značaj ODZ pri rješavanju jednadžbi i nejednadžbi.
2. Provedite praktičan rad na ovoj temi i rezimirajte njegove rezultate.

Mislim da će mi znanja i vještine koje sam stekla pomoći u rješavanju pitanja je li potrebno tražiti DZ ili ne? Prestat ću griješiti tako što ću naučiti pravilno raditi ODZ. Mogu li to učiniti, pokazat će vrijeme, odnosno jedinstveni državni ispit.

Poglavlje 1

Što je ODZ?

ODZ je raspon prihvatljivih vrijednosti, odnosno sve su to vrijednosti varijable za koje izraz ima smisla.

Važno. Da bismo pronašli ODZ ne rješavamo primjer! Rješavamo dijelove primjera kako bismo pronašli zabranjena mjesta.

Neke zabrane u matematici. U matematici je vrlo malo takvih zabranjenih radnji. Ali ne sjećaju ih se svi...

• Izrazi koji se sastoje od parnog znaka višestrukosti ili moraju biti >0 ili jednaki nuli, ODZ:f(x)
• Izraz u nazivniku razlomka ne može biti jednak nuli, ODZ:f(x)
• |f(x)|=g(x), ODZ: g(x) 0

Kako snimiti ODZ? Jako jednostavno. Uz primjer uvijek napišite ODZ. Ispod ovih poznatih slova, gledajući izvornu jednadžbu, zapisujemo vrijednosti x koje su dopuštene za izvorni primjer. Transformacija primjera može promijeniti OD i, sukladno tome, odgovor.

Algoritam za pronalaženje ODZ:

1. Odredite vrstu zabrane.
2. Pronađite vrijednosti pri kojima izraz nema smisla.
3. Eliminirajte ove vrijednosti iz skupa realnih brojeva R.

Riješite jednadžbu: =

Raspon prihvatljivih vrijednosti štiti nas od takvih ozbiljnih pogrešaka. Iskreno govoreći, upravo zbog ODZ-a mnogi “šokanci” postaju “C” studenti. Smatrajući da je traženje i uzimanje u obzir DL-a beznačajan korak u rješenju, oni ga preskaču, a onda se pitaju: “Zašto je profesorica dala dvojku?” Da, zato sam ga stavio jer je odgovor netočan! Ovo nije "gnjida" nastavnika, već vrlo specifična greška, baš kao i netočan izračun ili izgubljeni znak.

Dodatne jednadžbe:

a) = ; b) -42=14x+; c) =0; d) |x-5|=2x-2

2. Poglavlje

ODZ. Za što? Kada? Kako?

Raspon prihvatljivih vrijednosti - postoji rješenje

1. ODZ je prazan skup, što znači da izvorni primjer nema rješenja

• = ODZ:

Odgovor: nema korijena.

• = ODZ:

Odgovor: nema korijena.

0, jednadžba nema korijena

Odgovor: nema korijena.

Dodatni primjeri:

a) + =5; b) + =23x-18; c) =0.

1. ODZ sadrži jedan ili više brojeva, a jednostavnom zamjenom brzo se utvrđuju korijeni.

ODZ: x=2, x=3

Provjerite: x=2, + , 0<1, верно

Provjerite: x=3, + , 0<1, верно.

Odgovor: x=2, x=3.

• > ODZ: x=1,x=0

Provjerite: x=0, > , 0>0, netočno

Provjerite: x=1, > , 1>0, točno

Odgovor: x=1.

• + =x ODZ: x=3

Provjerite: + =3, 0=3, netočno.

Odgovor: nema korijena.

Dodatni primjeri:

a) = ; b) + =0; c) + =x -1

Opasnost od DD

Imajte na umu da transformacije identiteta mogu:

• ne utječu na DL;
• dovesti do proširenog DL-a;
• dovode do suženja ODZ.

Također je poznato da kao rezultat nekih transformacija koje mijenjaju izvorni ODZ, to može dovesti do netočnih odluka.

Ilustrirajmo svaki slučaj primjerom.

1) Razmotrimo izraz x + 4x + 7x, ODZ varijable x za ovo je skup R. Predstavimo slične pojmove. Kao rezultat, poprimit će oblik x 2 +11x. Očito je da je ODZ varijable x ovog izraza također skup R. Dakle, provedena transformacija nije promijenila ODZ.

2) Uzmite jednadžbu x+ - =0. U ovom slučaju, ODZ: x≠0. I ovaj izraz sadrži slične članove, nakon čije redukcije dolazimo do izraza x, za koji je ODZ R. Što vidimo: kao rezultat transformacije, ODZ je proširen (broj nula dodan je ODZ-u varijabla x za izvorni izraz).

3) Uzmimo izraz. VA varijable x određena je nejednakošću (x−5)·(x−2)≥0, VA: (−∞, 2]∪∪/Način pristupa: Materijali sa stranica www.fipi.ru, www.eg

Prilog 1

Praktični rad “ODZ: kada, zašto i kako?”

Dodatak 2

Odgovori na zadatke praktičnog rada “ODZ: kada, zašto i kako?”