ओड्ज़ द्विघात समीकरण. स्वीकार्य मूल्यों की सीमा: सिद्धांत और व्यवहार। स्पर्शरेखा के साथ द्विघात समीकरण को हल करना

वैज्ञानिक सलाहकार:

1. परिचय 3

2. ऐतिहासिक रेखाचित्र 4

3. समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय ODZ का "स्थान" 5-6

4. ODZ 7 की विशेषताएं और खतरे

5. ODZ - एक समाधान 8-9 है

6. ODZ ढूँढना अतिरिक्त काम है।

संक्रमणों की समतुल्यता 10-13

7. एकीकृत राज्य परीक्षा में ओडीजेड 14-15

8. निष्कर्ष 16

9. साहित्य 17

1 परिचय

जिन समीकरणों और असमानताओं में स्वीकार्य मूल्यों की सीमा खोजना आवश्यक है, उन्हें व्यवस्थित प्रस्तुति के बीजगणित पाठ्यक्रम में जगह नहीं मिली है, शायद यही कारण है कि मेरे साथी अक्सर ऐसे उदाहरणों को हल करते समय गलतियाँ करते हैं, हल करने में बहुत समय खर्च करते हैं उन्हें, स्वीकार्य मूल्यों की सीमा के बारे में भूलते हुए। ये तय हुआ संकटइस कार्य का.

इस कार्य में विभिन्न प्रकार के समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय स्वीकार्य मूल्यों के एक क्षेत्र के अस्तित्व की घटना की जांच करना है; इस स्थिति का विश्लेषण करें, उदाहरणों में तार्किक रूप से सही निष्कर्ष निकालें जहां आपको स्वीकार्य मूल्यों की सीमा को ध्यान में रखना होगा।

कार्य:

मौजूदा अनुभव और सैद्धांतिक आधार के आधार पर, अनुमेय मूल्यों की सीमा और स्कूल अभ्यास में इसके उपयोग के बारे में बुनियादी जानकारी एकत्र करें; विभिन्न प्रकार के समीकरणों और असमानताओं (आंशिक-तर्कसंगत, अपरिमेय, लघुगणक, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों वाले) के समाधान का विश्लेषण करें; विभिन्न समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय पहले प्राप्त परिणामों की जाँच करें, उन्हें हल करने के तरीकों और तरीकों की विश्वसनीयता सुनिश्चित करें; समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय स्वीकार्य मूल्यों की सीमा का "स्थान" निर्धारित करें; प्राप्त शोध सामग्री को ऐसी स्थिति में लागू करें जो मानक स्थिति से भिन्न हो, और उन्हें एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी में उपयोग करें।

इन समस्याओं को हल करते समय निम्नलिखित का उपयोग किया गया तलाश पद्दतियाँ: विश्लेषण, सांख्यिकीय विश्लेषण, कटौती, वर्गीकरण, पूर्वानुमान।

अध्ययन की शुरुआत स्कूली पाठ्यक्रम में पढ़े गए प्रसिद्ध कार्यों की पुनरावृत्ति के साथ हुई। इनमें से कई का दायरा सीमित है.

स्वीकार्य मानों की सीमा हल करते समय उत्पन्न होती है: भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरण और असमानताएँ; अपरिमेय समीकरण और असमानताएँ; लघुगणकीय समीकरण और असमानताएँ; व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन वाले समीकरण और असमानताएँ।

विभिन्न स्रोतों (यूएसई पाठ्यपुस्तकों, पाठ्यपुस्तकों, संदर्भ पुस्तकों) से कई उदाहरणों को हल करने के बाद, हमने निम्नलिखित सिद्धांतों के अनुसार उदाहरणों के समाधान की पहचान की:

· आप उदाहरण को हल कर सकते हैं और ODZ (सबसे सामान्य विधि) को ध्यान में रख सकते हैं

· ओडीजेड को ध्यान में रखे बिना उदाहरण को हल करना संभव है

· ओडीजेड को ध्यान में रखकर ही सही निर्णय पर आना संभव है।

पिछले वर्षों में एकीकृत राज्य परीक्षा परिणामों के विश्लेषण का अध्ययन किया गया है। जिन उदाहरणों में डीएल को ध्यान में रखना आवश्यक है उनमें कई गलतियाँ की गईं। व्यवहारिक महत्वकार्य इस तथ्य में निहित है कि इसकी सामग्री, मूल्यांकन और निष्कर्ष का उपयोग स्कूल में गणित पढ़ाने, ग्रेड 9 और 11 में स्कूली बच्चों के अंतिम प्रमाणीकरण की तैयारी में किया जा सकता है।

2. ऐतिहासिक रेखाचित्र

गणित की अन्य अवधारणाओं की तरह, फ़ंक्शन की अवधारणा तुरंत विकसित नहीं हुई, बल्कि विकास के एक लंबे रास्ते से गुज़री। पी. फ़र्मेट के कार्य "समतल और ठोस स्थानों का परिचय और अध्ययन" (1636, प्रकाशित 1679) में कहा गया है: "जब भी अंतिम समीकरण में दो अज्ञात मात्राएँ होती हैं, तो एक स्थान होता है।" अनिवार्य रूप से, यहां हम कार्यात्मक निर्भरता और इसके चित्रमय प्रतिनिधित्व (फर्मेट में "स्थान" का अर्थ एक रेखा है) के बारे में बात कर रहे हैं। आर. डेसकार्टेस की "ज्यामिति" (1637) में रेखाओं का उनके समीकरणों के अनुसार अध्ययन भी दो चरों की पारस्परिक निर्भरता की स्पष्ट समझ का संकेत देता है। आई. बैरो (ज्यामिति पर व्याख्यान, 1670) विभेदीकरण और एकीकरण की क्रियाओं की पारस्परिक व्युत्क्रम प्रकृति को ज्यामितीय रूप में स्थापित करता है (बेशक, इन शब्दों का उपयोग किए बिना)। यह पहले से ही फ़ंक्शन की अवधारणा की पूरी तरह से स्पष्ट महारत का संकेत देता है। यह अवधारणा हमें आई. न्यूटन में ज्यामितीय और यांत्रिक रूप में भी मिलती है। हालाँकि, शब्द "फ़ंक्शन" पहली बार केवल 1692 में जी. लीबनिज़ के साथ प्रकट हुआ और, इसके अलावा, इसकी आधुनिक समझ में नहीं था। जी. लीबनिज़ एक वक्र से जुड़े विभिन्न खंडों (उदाहरण के लिए, इसके बिंदुओं का भुज) को एक फ़ंक्शन कहते हैं। एल'हॉपिटल (1696) द्वारा पहले मुद्रित पाठ्यक्रम, "घुमावदार रेखाओं के ज्ञान के लिए इनफिनिटिमल्स का विश्लेषण" में, "फ़ंक्शन" शब्द का उपयोग नहीं किया गया है।

किसी फ़ंक्शन की आधुनिक परिभाषा के करीब पहली परिभाषा आई. बर्नौली (1718) में पाई जाती है: "फ़ंक्शन एक चर और स्थिरांक से बनी एक मात्रा है।" यह पूरी तरह से स्पष्ट परिभाषा एक विश्लेषणात्मक सूत्र द्वारा किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने के विचार पर आधारित नहीं है। यही विचार एल. यूलर की परिभाषा में प्रकट होता है, जो उन्होंने "इंट्रोडक्शन टू द एनालिसिस ऑफ इनफिनिटीज़" (1748) में दी है: "एक परिवर्तनीय मात्रा का कार्य एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति है जो किसी तरह से इस परिवर्तनीय मात्रा और संख्याओं से बना है या स्थिर मात्राएँ।" हालाँकि, एल. यूलर अब फ़ंक्शन की आधुनिक समझ से अलग नहीं हैं, जो किसी फ़ंक्शन की अवधारणा को उसके किसी भी विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति से नहीं जोड़ता है। उनका "डिफ़रेंशियल कैलकुलस" (1755) कहता है: "जब कुछ मात्राएँ दूसरों पर इस तरह निर्भर करती हैं कि जब बाद वाली बदलती हैं तो वे स्वयं परिवर्तन के अधीन हो जाती हैं, तो पहली को बाद वाली के कार्य कहा जाता है।"

19वीं सदी की शुरुआत के बाद से, किसी फ़ंक्शन की अवधारणा को उसके विश्लेषणात्मक प्रतिनिधित्व का उल्लेख किए बिना तेजी से परिभाषित किया गया है। "ट्रिटीज़ ऑन डिफरेंशियल एंड इंटीग्रल कैलकुलस" (1797-1802) में एस. लैक्रोइक्स कहते हैं: "प्रत्येक मात्रा जिसका मूल्य एक या कई अन्य मात्राओं पर निर्भर करता है, इन बाद वाली मात्राओं का एक फलन कहलाती है।" जे. फूरियर (1822) की "एनालिटिकल थ्योरी ऑफ़ हीट" में एक वाक्यांश है: "फ़ंक्शन" एफ(एक्स)एक पूरी तरह से मनमाने ढंग से कार्य को दर्शाता है, अर्थात, दिए गए मूल्यों का एक क्रम, चाहे वह सामान्य कानून के अधीन हो या नहीं और सभी मूल्यों के अनुरूप हो एक्स 0 और कुछ मान के बीच समाहित है एक्स" एन.आई. लोबचेव्स्की की परिभाषा आधुनिक परिभाषा के करीब है: "...किसी फ़ंक्शन की सामान्य अवधारणा के लिए आवश्यक है कि एक फ़ंक्शन से एक्सप्रत्येक के लिए दी गई संख्या का नाम बताइए एक्सऔर साथ में एक्सधीरे-धीरे बदलता है. किसी फ़ंक्शन का मान या तो एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति द्वारा दिया जा सकता है, या ऐसी स्थिति द्वारा दिया जा सकता है जो सभी संख्याओं का परीक्षण करने और उनमें से किसी एक को चुनने का साधन प्रदान करता है, या, अंत में, निर्भरता मौजूद हो सकती है और अज्ञात रह सकती है। वहां थोड़ा नीचे यह भी कहा गया है: "सिद्धांत का व्यापक दृष्टिकोण केवल इस अर्थ में निर्भरता के अस्तित्व की अनुमति देता है कि एक दूसरे के साथ संबंध में संख्याओं को ऐसे समझा जाता है जैसे कि एक साथ दी गई हो।" इस प्रकार, किसी फ़ंक्शन की आधुनिक परिभाषा, विश्लेषणात्मक कार्य के संदर्भ से मुक्त, जिसका श्रेय आमतौर पर पी. डिरिचलेट (1837) को दिया जाता है, उनके सामने बार-बार प्रस्तावित की गई थी:

y में वेरिएबल x का एक फ़ंक्शन है (सेगमेंट पर https://pandia.ru/text/78/093/images/image002_83.gif" width='95' ऊंचाई='27 src='>. दोनों पक्षों का वर्ग करके आइए समीकरण की अतार्किकता से छुटकारा पाएं, लेकिन आइए इस तथ्य पर ध्यान दें कि वर्ग बनाना, आम तौर पर एक समतुल्य परिवर्तन नहीं है, और वर्ग करने पर हम अतिरिक्त जड़ें प्राप्त कर सकते हैं, तो यह नहीं है जाँच करना कठिन है। लेकिन कुछ मामलों में जाँच करना असुविधाजनक है, फिर इस समीकरण को समतुल्य प्रणाली में घटाएँ।

.

इस मामले में, ODZ खोजने की कोई आवश्यकता नहीं है: पहले समीकरण से यह पता चलता है कि x के प्राप्त मान निम्नलिखित असमानता को संतुष्ट करते हैं: https://pandia.ru/text/78/093/images/image005_34। gif' width='107' ऊंचाई='27 src='> सिस्टम है:

चूंकि वे समीकरण में समान रूप से प्रवेश करते हैं, तो असमानता के बजाय, आप असमानता को शामिल कर सकते हैं https://pandia.ru/text/78/093/images/image010_15.gif" width="220" ऊंचाई="49">

https://pandia.ru/text/78/093/images/image015_10.gif" width=”239” ऊंचाई=”51”>

3. लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं को हल करना।

3.1. लघुगणकीय समीकरण को हल करने की योजना

लेकिन यह ओडीजेड की केवल एक स्थिति की जांच करने के लिए पर्याप्त है।

3.2..gif" width=”115” ऊंचाई=”48 src=”>.gif” width=”115” ऊंचाई=”48 src=”>

4. प्रपत्र के त्रिकोणमितीय समीकरणसिस्टम के समतुल्य हैं (असमानता के बजाय, आप सिस्टम में असमानता को शामिल कर सकते हैं https://pandia.ru/text/78/093/images/image025_2.gif" width='377' ऊंचाई='23'> समतुल्य हैं समीकरण के लिए

4. अनुमेय मूल्यों की सीमा की विशेषताएं और खतरे

गणित के पाठों में, हमें प्रत्येक उदाहरण में डीएल खोजना आवश्यक है। साथ ही, मामले के गणितीय सार के अनुसार, ओडीजेड ढूंढना बिल्कुल भी अनिवार्य नहीं है, अक्सर आवश्यक नहीं होता है, और कभी-कभी असंभव होता है - और यह सब उदाहरण के समाधान को किसी भी नुकसान के बिना। दूसरी ओर, अक्सर ऐसा होता है कि स्कूली बच्चे किसी उदाहरण को हल करने के बाद डीएल को ध्यान में रखना भूल जाते हैं, इसे अंतिम उत्तर के रूप में लिखते हैं और केवल कुछ शर्तों को ध्यान में रखते हैं। यह परिस्थिति सर्वविदित है, लेकिन "युद्ध" हर साल जारी रहता है और ऐसा लगता है, लंबे समय तक जारी रहेगा।

उदाहरण के लिए, निम्नलिखित असमानता पर विचार करें:

यहां, ODZ की मांग की जाती है और असमानता का समाधान किया जाता है। हालाँकि, इस असमानता को हल करते समय, स्कूली बच्चे कभी-कभी मानते हैं कि डीएल की खोज के बिना ऐसा करना काफी संभव है, या अधिक सटीक रूप से, शर्त के बिना ऐसा करना संभव है।

वास्तव में, सही उत्तर प्राप्त करने के लिए असमानता, और दोनों को ध्यान में रखना आवश्यक है।

लेकिन, उदाहरण के लिए, समीकरण का समाधान: https://pandia.ru/text/78/093/images/image033_3.gif" width="79 ऊंचाई=75" ऊंचाई="75">

जो ODZ के साथ काम करने के बराबर है। हालाँकि, इस उदाहरण में, ऐसा कार्य अनावश्यक है - यह इनमें से केवल दो असमानताओं और किन्हीं दो की पूर्ति की जाँच करने के लिए पर्याप्त है।

याद रखें कि किसी भी समीकरण (असमानता) को फॉर्म में घटाया जा सकता है। ODZ केवल बाईं ओर फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र है। तथ्य यह है कि इस क्षेत्र की निगरानी की जानी चाहिए, किसी दिए गए फ़ंक्शन की परिभाषा के डोमेन से एक संख्या के रूप में रूट की परिभाषा का पालन किया जाता है, जिससे ओडीजेड होता है। यहां इस विषय पर एक मजेदार उदाहरण है..gif" width=”20” ऊंचाई=”21 src=”> में सकारात्मक संख्याओं के एक सेट की परिभाषा का एक डोमेन है (यह, निश्चित रूप से, एक फ़ंक्शन पर विचार करने के लिए एक समझौता है) , लेकिन उचित), और फिर -1 मूल नहीं है।

5. स्वीकार्य मूल्यों की सीमा - एक समाधान है

और अंत में, कई उदाहरणों में, ओडीजेड खोजने से आपको बोझिल गणनाओं के बिना, या मौखिक रूप से भी उत्तर प्राप्त करने की अनुमति मिलती है।

1. OD3 एक खाली सेट है, जिसका अर्थ है कि मूल उदाहरण का कोई समाधान नहीं है।

1) 2) 3)

2. बीओडीजेड एक या अधिक संख्याएँ पाई जाती हैं, और एक साधारण प्रतिस्थापन शीघ्र ही मूल निर्धारित कर देता है।

1) , एक्स=3

2)यहां ODZ में केवल एक संख्या है 1 , और प्रतिस्थापन के बाद यह स्पष्ट है कि यह जड़ नहीं है।

3) ODZ में दो संख्याएँ हैं: 2 और 3 , और दोनों उपयुक्त हैं।

4) > ODZ में दो नंबर होते हैं 0 और 1 , और केवल फिट बैठता है 1 .

अभिव्यक्ति के विश्लेषण के साथ संयोजन में ODZ का प्रभावी ढंग से उपयोग किया जा सकता है।

5) < ОДЗ: Но в правой части неравенства могут быть только положительные числа, поэтому оставляем एक्स=2. फिर हम असमानता में स्थानापन्न करते हैं 2 .

6) ओडीजेड से यह इस प्रकार है कि, जहां हमारे पास ..gif" width='143' ऊंचाई='24'> है, ओडीजेड से हमारे पास है: . लेकिन फिर और . चूंकि, कोई समाधान नहीं है।

ODZ से हमारे पास है:..gif' width='53' ऊंचाई='24 src='>.gif' width='156' ऊंचाई='24'> ODZ: . के बाद से

दूसरी ओर,। समानता तभी संभव है जब समीकरण का प्रत्येक पक्ष बराबर हो 0 , यानी कब एक्स=1. इस मान को प्रतिस्थापित करने के बाद एक्सहम आश्वस्त हैं कि कोई समाधान नहीं है।

ओडीजेड:. अंतराल पर समीकरण पर विचार करें [-1; 0).

यह निम्नलिखित असमानताओं को पूरा करता है https://pandia.ru/text/78/093/images/image072_0.gif" width=”68″ ऊंचाई=”24 src=”>.gif” width=”123” ऊंचाई=”24 src='> और कोई समाधान नहीं है। फ़ंक्शन और https://pandia.ru/text/78/093/images/image077_0.gif' width='179' ऊंचाई='25'> के साथ। ODZ: एक्स>2. वहीं . इसका मतलब यह है कि प्रारंभिक समानता असंभव है और इसका कोई समाधान नहीं है।

आइए अब एक उदाहरण दें जो बीजगणित पाठ में शिक्षक द्वारा सुझाया गया था। हम इसे तुरंत हल नहीं कर पाए, लेकिन जब हमें ओडीजेड मिला, तो सब कुछ स्पष्ट हो गया।

समीकरण का पूर्णांक मूल ज्ञात करें https://pandia.ru/text/78/093/images/image080_0.gif" width=”124” Height=”77”>

एक पूर्णांक समाधान केवल तभी संभव है यदि एक्स=3और एक्स=5. जाँच करने पर हमें पता चलता है कि मूल एक्स=3फिट नहीं बैठता, इसलिए उत्तर है: एक्स=5.

6. स्वीकार्य मूल्यों की सीमा ढूँढना अतिरिक्त काम है। संक्रमणों की समतुल्यता.

आप ऐसे उदाहरण दे सकते हैं जहां डीजेड ढूंढे बिना भी स्थिति स्पष्ट है।

1.

समानता असंभव है, क्योंकि छोटे से बड़े व्यंजक को घटाने पर परिणाम एक ऋणात्मक संख्या होना चाहिए।

2. .

दो गैर-ऋणात्मक फलनों का योग ऋणात्मक नहीं हो सकता।

मैं ऐसे उदाहरण भी दूंगा जहां ओडीजेड ढूंढना मुश्किल है, और कभी-कभी असंभव भी है।

और अंत में, ओडीजेड की खोज अक्सर अतिरिक्त काम होती है, जिसे आप बिना भी कर सकते हैं, जिससे जो हो रहा है उसके बारे में आपकी समझ साबित होती है। यहां बड़ी संख्या में उदाहरण दिए जा सकते हैं, इसलिए हम केवल सबसे विशिष्ट उदाहरणों का ही चयन करेंगे। इस मामले में मुख्य समाधान विधि एक समीकरण (असमानता, प्रणाली) से दूसरे में जाने पर समतुल्य परिवर्तन है।

1.. ODZ की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि, उन मानों को पा लेने के बाद एक्स, जिस पर x2=1, हम नहीं पा सकते एक्स=0.

2. . ODZ की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि हमें पता चलता है कि मूल अभिव्यक्ति एक सकारात्मक संख्या के बराबर है।

3. . पिछले उदाहरण की तरह उन्हीं कारणों से ODZ की आवश्यकता नहीं है।

4.

ODZ की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि मूल अभिव्यक्ति किसी फ़ंक्शन के वर्ग के बराबर है, और इसलिए नकारात्मक नहीं हो सकती है।

5.

6. . ODZ की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि अभिव्यक्ति हमेशा सकारात्मक होती है।

7. हल करने के लिए, मूल अभिव्यक्ति के लिए केवल एक बाधा पर्याप्त है। वास्तव में, लिखित मिश्रित प्रणाली से यह निष्कर्ष निकलता है कि अन्य मूल अभिव्यक्ति गैर-नकारात्मक है।

8. पिछले उदाहरण के समान कारणों से डीजेड की आवश्यकता नहीं है।

9. ODZ की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि यह तीसरे की सकारात्मकता सुनिश्चित करने के लिए लघुगणक चिह्नों के अंतर्गत तीन में से दो अभिव्यक्तियों के सकारात्मक होने के लिए पर्याप्त है।

10. .gif' width='357' ऊंचाई='51'> पिछले उदाहरण की तरह ही कारणों से ODZ की आवश्यकता नहीं है।

हालाँकि, यह ध्यान देने योग्य है कि समतुल्य परिवर्तनों की विधि का उपयोग करके हल करते समय, ODZ (और कार्यों के गुणों) का ज्ञान मदद करता है।

यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं।

1. . OD3, जिसका अर्थ है कि दाहिनी ओर की अभिव्यक्ति सकारात्मक है, और इस रूप में इसके समतुल्य समीकरण लिखना संभव है। प्राप्त परिणाम की जाँच ODZ से की जानी चाहिए।

2. ओडीजेड: . लेकिन तब, और इस असमानता को हल करते समय, उस मामले पर विचार करना आवश्यक नहीं है जब दाहिना पक्ष 0 से कम हो।

3. . ओडीजेड से यह निष्कर्ष निकलता है कि, और इसलिए वह मामला जब, को बाहर रखा गया है।

सामान्य तौर पर, समतुल्य परिवर्तनों की पद्धति की प्रभावशीलता स्पष्ट प्रतीत होती है। उनकी मदद से, हम DZ की खोज किए बिना उत्तर तक पहुँच जाते हैं। क्या इसका मतलब यह है कि कोई सार्वभौमिक विधि है और केवल यह सीखना बाकी है कि इसका उपयोग कैसे किया जाए? लेकिन यह वैसा नहीं है। इसके अनेक कारण हैं। समतुल्य परिवर्तनों के बारे में बहुत सारे प्रमेय हैं, उन्हें याद रखना आसान नहीं है, और उनमें आत्मविश्वास से महारत हासिल करना आसान बात नहीं है। अक्सर, समतुल्य परिवर्तनों का उपयोग करते हुए, आप इस चिह्न को एक समीकरण से दूसरे समीकरण में किसी भी संक्रमण पर लगाना शुरू करते हैं, दोनों वास्तव में समतुल्य और ऐसा नहीं। ये प्रमेय जल्दी ही भुला दिए जाते हैं।

एक और कठिनाई यह है कि तुल्यता लिखते समय, आप इसकी गारंटी देने वाली सभी शर्तों को लिखना भूल सकते हैं, लेकिन यह किसी भी तरह से उत्तर को प्रभावित नहीं कर सकता है। यहां ऐसे दो उदाहरण हैं:

1. सामान्यतः परिवर्तन इस प्रकार दिखता है:

इस उदाहरण में, दाईं ओर लघुगणक के चिह्न के नीचे का भाव हमेशा सकारात्मक होता है। इसलिए, इस उदाहरण के संबंध में, तुल्यता शर्तों का वह भाग जो एक सेट के रूप में लिखा गया है, कुछ भी नहीं जोड़ता है। लेकिन ऐसा निर्णय लेने के बाद, आप इस संपूर्णता के बारे में आसानी से भूल सकते हैं।

दो संभावित मामले हैं: 0<<1 и >1.

इसका मतलब यह है कि मूल असमानता असमानताओं की प्रणालियों के निम्नलिखित सेट के बराबर है:

पहले सिस्टम का कोई समाधान नहीं है, लेकिन दूसरे से हमें प्राप्त होता है: x<-1 – решение неравенства.

समतुल्यता की शर्तों को समझने के लिए कुछ सूक्ष्मताओं के ज्ञान की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित समीकरण समतुल्य क्यों हैं:

या

और अंत में, शायद सबसे महत्वपूर्ण बात। तथ्य यह है कि समतुल्यता उत्तर की शुद्धता की गारंटी देती है यदि समीकरण के कुछ परिवर्तन स्वयं किए जाते हैं, लेकिन इसका उपयोग केवल एक भाग में परिवर्तन के लिए नहीं किया जाता है। किसी एक भाग में संक्षिप्तीकरण और विभिन्न सूत्रों का उपयोग तुल्यता प्रमेय के अंतर्गत नहीं आता है। इस प्रकार के कुछ उदाहरण कार्य में दिये गये थे। आइए कुछ और उदाहरण देखें.

1. यह निर्णय स्वाभाविक है. बाईं ओर, लघुगणकीय फ़ंक्शन की संपत्ति के अनुसार, हम अभिव्यक्ति पर आगे बढ़ते हैं। परिणामस्वरूप, हमें समीकरण प्राप्त होता है। यह ऐसी प्रणाली के समतुल्य है

इस प्रणाली को हल करने पर, हमें परिणाम (-2 और 2) मिलता है, जो, हालांकि, एक उत्तर नहीं है, क्योंकि संख्या -2 ODZ में शामिल नहीं है। तो, क्या हमें ODS स्थापित करने की आवश्यकता है? बिल्कुल नहीं। लेकिन चूंकि हमने समाधान में लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की एक निश्चित संपत्ति का उपयोग किया है, तो हम उन शर्तों को प्रदान करने के लिए बाध्य हैं जिनके तहत यह संतुष्ट है। ऐसी स्थिति लघुगणक चिन्ह..gif' width='65' ऊँचाई='48'> के अंतर्गत भावों की सकारात्मकता है।

2. ..gif' width='143' ऊंचाई='27'>.gif' width='147' ऊंचाई='24'>एक शर्त जोड़ें, और आप तुरंत देख सकते हैं कि केवल संख्या https://pandia.ru/ इस शर्त को पूरा करता है text/78/093/images/image129.gif" width=”117” ऊँचाई=”27”>) परीक्षा देने वालों में से 52% द्वारा प्रदर्शित किया गया था। इतनी कम दरों का एक कारण यह तथ्य है कि कई स्नातकों ने समीकरण का वर्ग करने के बाद उससे प्राप्त मूलों का चयन नहीं किया।

3) उदाहरण के लिए, समस्या C1 में से एक के समाधान पर विचार करें: "x के सभी मान ज्ञात करें जिसके लिए फ़ंक्शन के ग्राफ़ के बिंदु फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर संबंधित बिंदुओं के ऊपर स्थित है। यह कार्य एक लघुगणकीय अभिव्यक्ति वाली भिन्नात्मक असमानता को हल करने तक सीमित है। हम ऐसी असमानताओं को हल करने की विधियाँ जानते हैं। उनमें से सबसे आम अंतराल विधि है। हालाँकि, इसका उपयोग करते समय परीक्षार्थी कई गलतियाँ करते हैं। आइए एक उदाहरण के रूप में असमानता का उपयोग करते हुए सबसे आम गलतियों को देखें:

1. स्नातक असमानताओं की प्रणाली को हल करके डीएल को सही ढंग से ढूंढते हैं:

कहाँ एक्स . इसके बाद, असमानता के दोनों पक्षों को एक सामान्य हर से गुणा करने पर, हमें असमानता प्राप्त होती है: लॉग(23 - 10 एक्स

2..gif' width='124' ऊंचाई='29'>. अगला उन्हें मिलता है एक्स– 10 +; . इस समीकरण को हल करके और स्थिति को ध्यान में रखते हुए, स्नातक यह निष्कर्ष निकालते हैं कि समीकरण का कोई समाधान नहीं है।

3. परीक्षार्थी समीकरण को सही रूप में रूपांतरित करते हैं

और दो मामलों पर विचार करें: एक्स 10 और एक्स < 10. Они отмечают, что в первом случае решений нет, а во втором – корнями являются числа –1 и . При этом выпускники не учитывают условие एक्स < 10.

8. निष्कर्ष

इस कार्य में, हमने विभिन्न प्रकार के समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय स्वीकार्य मूल्यों की एक श्रृंखला के अस्तित्व की घटना का पता लगाने की कोशिश की, इस स्थिति का विश्लेषण किया, और उदाहरणों में तार्किक रूप से सही निष्कर्ष निकाले जहां इसे ध्यान में रखना आवश्यक है स्वीकार्य मूल्यों की सीमा. मेरे लिए, विषय "अनुमेय मूल्यों का क्षेत्र" बहुत जटिल और समझ से बाहर था, और स्कूल की पाठ्यपुस्तकों में इस विषय को उचित स्थान नहीं दिया गया है, यह व्यावहारिक रूप से कवर नहीं किया गया है, हालांकि एकीकृत राज्य परीक्षा कार्यों में समीकरणों और असमानताओं को हल करने के कार्य शामिल हैं अनुमेय मानों की सीमा ज्ञात करना आवश्यक है। काम की प्रक्रिया में, हमें इस तथ्य का सामना करना पड़ा कि इस विषय पर साहित्य पूर्ण और व्यवस्थित अध्ययन के लिए पर्याप्त नहीं है। हमारा मानना ​​है कि इस विषय पर गणितज्ञों और पद्धतिविदों को बारीकी से ध्यान देने की आवश्यकता है।

विभिन्न स्रोतों से कई उदाहरणों को हल करने के बाद, हम कुछ निष्कर्ष निकाल सकते हैं: समीकरणों और असमानताओं को हल करने की कोई सार्वभौमिक विधि नहीं है। हर बार, यदि आप यह समझना चाहते हैं कि आप क्या कर रहे हैं और यंत्रवत् कार्य नहीं कर रहे हैं, तो आप सोचते हैं: आपको कौन सी समाधान विधि चुननी चाहिए, विशेष रूप से, क्या आपको स्वीकार्य मूल्यों की सीमा की तलाश करनी चाहिए या नहीं? हमारा मानना ​​है कि प्राप्त अनुभव इस दुविधा को हल करने में मदद करेगा। स्वीकार्य मूल्यों की सीमा का सही ढंग से उपयोग करना सीखकर छात्र गलतियाँ करना बंद कर देंगे। हम ऐसा कर पाएंगे या नहीं, यह समय बताएगा, या यूं कहें कि आगामी एकीकृत राज्य परीक्षा 2010।

हम आशा करते हैं कि प्रस्तुत कार्य शिक्षकों और छात्रों के लिए रोचक और उपयोगी होगा और शैक्षिक अक्षमताएं समाप्त हो जाएंगी "किसी प्रकार का ख़राब ODZ"स्कूली बच्चों के लिए.

9. साहित्य

1., आदि "बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत 10-11" समस्या पुस्तक और पाठ्यपुस्तक, एम.: "प्रोस्वेशचेनी", 2002।

2. "प्रारंभिक गणित की पुस्तिका।" एम.: "विज्ञान", 1966.

3. समाचार पत्र "गणित" क्रमांक 46,

4. समाचार पत्र "गणित" नं.

5. समाचार पत्र "गणित" नं.

6. "स्कूल में गणित का इतिहास, ग्रेड VII-VIII।" एम.: "ज्ञानोदय", 1982।

7. आदि "वास्तविक एकीकृत राज्य परीक्षा कार्यों के लिए विकल्पों का सबसे पूर्ण संस्करण: 2009/FIPI" - एम.: "एस्ट्रेल", 2009।

8. और अन्य “एकीकृत राज्य परीक्षा। अंक शास्त्र। छात्रों/एफआईपीआई की तैयारी के लिए सार्वभौमिक सामग्री" - एम.: "इंटेलेक्ट सेंटर", 2009।

9. और अन्य "बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत 10-11।" एम.: "ज्ञानोदय", 2007.

10. , "स्कूल गणित में समस्याओं को हल करने पर कार्यशाला (बीजगणित में कार्यशाला)।" एम.: शिक्षा, 1976.

11. "25,000 गणित पाठ।" एम.: "ज्ञानोदय", 1993.

12. "हम गणित में ओलंपियाड की तैयारी कर रहे हैं।" एम.: "परीक्षा", 2006।

13. "बच्चों के लिए विश्वकोश "गणित"" खंड 11, एम.: अवंता +; 2002.

14. साइटों से सामग्री http://www. *****, http://www. *****.

इंटरनेट पोर्टल विकिपीडिया http://ru. विकिपीडिया. org/wiki/Numeric_function (03/05/2010 को एक्सेस किया गया)।

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एक छात्र से उत्तर@***** http://otvet पर प्रश्न। *****/प्रश्न/8166619/ (दिनांक 03/22/2010)

पद्धति संबंधी पत्र "माध्यमिक (पूर्ण) सामान्य शिक्षा के शैक्षणिक संस्थानों में गणित पढ़ाने में 2008 एकीकृत राज्य परीक्षा के परिणामों के उपयोग पर" http://www. ***** (दिनांक 12/17/2009 देखा गया)

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जब भी आप हमसे संपर्क करेंगे तो आपसे किसी भी समय आपकी व्यक्तिगत जानकारी प्रदान करने के लिए कहा जा सकता है।

नीचे कुछ उदाहरण दिए गए हैं कि हम किस प्रकार की व्यक्तिगत जानकारी एकत्र कर सकते हैं और हम ऐसी जानकारी का उपयोग कैसे कर सकते हैं।

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बधाई हो, प्रिय पाठकों!

आख़िरकार हम पहुंच गए त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना.अब हम कई समीकरणों को हल करेंगे जो एकीकृत राज्य परीक्षा कार्यों के समान हैं। बेशक, वास्तविक परीक्षा में कार्य थोड़े अधिक कठिन होंगे, लेकिन सार वही रहेगा।

सबसे पहले, आइए एक आसान समीकरण देखें (हम पहले ही पिछले पाठों में इसी तरह के समीकरण हल कर चुके हैं, लेकिन उन्हें दोहराना हमेशा उपयोगी होता है)।

$$(2\cos x + 1) (2\sin x - \sqrt(3)) = 0.$$

मैं सोचता हूं कि निर्णय कैसे लिया जाए इसका स्पष्टीकरण अनावश्यक है।

$$2\cos x + 1 = 0 \text( या ) 2\sin x - \sqrt(3) =0,$$

$$\cos x = -\frac(1)(2) \text( या ) \sin x = \frac(\sqrt(3))(2),$$

क्षैतिज बिंदीदार रेखा चिह्न ज्या के साथ समीकरण का समाधान, लंबवत - कोसाइन के साथ।

इस प्रकार, अंतिम समाधान, उदाहरण के लिए, इस तरह लिखा जा सकता है:

$$\left[ \begin(array)(l)x= \pm \frac(2\pi)(3),\\x = \frac(\pi)(3)+2\pi k. \end(सरणी)\right.$$

ODZ के साथ त्रिकोणमितीय समीकरण

$$(1+\cos x)\left(\frac(1)(\sin x) - 1\right) = 0.$$

इस उदाहरण में एक महत्वपूर्ण अंतर यह है कि हर में एक साइन दिखाई देता है। हालाँकि हमने पिछले पाठों में समान समीकरणों को थोड़ा हल किया है, लेकिन ओडीजेड पर अधिक विस्तार से ध्यान देना उचित है।

ओडीजेड

`\sin x \neq 0 \राइटएरो x \neq \pi k`। जब हम वृत्त पर समाधान को चिह्नित करते हैं, तो हम जड़ों की इस श्रृंखला को विशेष रूप से छेद किए गए (खुले) बिंदुओं से चिह्नित करेंगे ताकि यह दिखाया जा सके कि `x` ऐसे मान नहीं ले सकता है।

समाधान

आइए हम एक सामान्य हर को कम करें, और फिर बारी-बारी से दोनों कोष्ठकों को शून्य के बराबर करें।

$$(1+\cos x)\left(\frac(1-\sin x)(\sin x)\right) = 0,$$

$$1+\cos x = 0 \text( या ) \frac(1-\sin x)(\sin x) = 0,$$

$$\cos x = -1 \text( या ) \sin x=1.$$

मुझे उम्मीद है कि इन समीकरणों को सुलझाने से कोई कठिनाई नहीं होगी।

जड़ों की श्रृंखला - समीकरण के समाधान - नीचे लाल बिंदुओं के साथ दिखाए गए हैं। चित्र में ODZ को नीले रंग में अंकित किया गया है।

इस प्रकार, हम समझते हैं कि समीकरण `\cos x = -1` का समाधान ODZ को संतुष्ट नहीं करता है।
उत्तर केवल जड़ों की एक श्रृंखला होगी `x = \frac(\pi)(2) + 2\pi k`.

द्विघात त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करना

हमारे कार्यक्रम में अगला बिंदु है द्विघात समीकरण को हल करना. इसमें कुछ भी जटिल नहीं है. मुख्य बात द्विघात समीकरण को देखना और नीचे दिखाए अनुसार प्रतिस्थापन करना है।

$$3\sin^2 x + \sin x =2,$$

$$3\sin^2 x + \sin x -2=0.$$

मान लीजिए `t= \sin x`, तो हमें मिलता है:

$$3t^2 + t-2=0.$$

$$t_1 = \frac(2)(3), t_2 = -1.$$

चलिए रिवर्स रिप्लेसमेंट करते हैं.

$$\sin x = \frac(2)(3) \text( या ) \sin x = -1.$$

$$\left[\begin(array)(l)x = \arcsin \frac(2)(3) + 2\pi k, \\ x = \pi - \arcsin \frac(2)(3) + 2 \pi k, \\ x = -\frac(\pi)(2) + 2\pi k. \end(सरणी) \right.$$

स्पर्शरेखा के साथ द्विघात समीकरण को हल करना

आइए निम्नलिखित समीकरण को हल करें:

$$\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg)))(\tg)^2 2x - 6\tg 2x +5 =0, $$

कृपया ध्यान दें कि स्पर्शरेखा तर्क `2x` है और अंतिम उत्तर प्राप्त करने के लिए आपको `2` से विभाजित करना होगा। मान लीजिए `t=\tg 2x`, तो

$$t^2 - 6t +5 =0, $$

$$t_1 = 5, t_2 = 1.$$

उलटा प्रतिस्थापन.

$$\tg x = 5,\tg x = 1.$$

$$\left[\begin(array)(l)2x = \arctan(5)+\pi k, \\ 2x = \frac(\pi)(4) + \pi k. \end(सरणी) \right.$$

आइए अब यह पता लगाने के लिए दोनों श्रृंखलाओं को दो से विभाजित करें कि `x` वास्तव में क्या बराबर है।

$$\left[\begin(array)(l)x = \frac(1)(2)\arctan(5)+\frac(\pi k)(2), \\ 2x = \frac(\pi) (8) + \frac(\pi k)(2). \end(सरणी) \right.$$

तो हमें जवाब मिल गया.

अंतिम समीकरण (स्पर्श रेखा और ज्या का गुणनफल)

$$\tg x \cdot \sin 2x = 0.$$

ओडीजेड

चूँकि स्पर्शरेखा एक भिन्न है जिसका हर कोज्या है, तो ODZ में हमें यह प्राप्त होता है `\cos x \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac(\pi)(2)+\pi k.`

समाधान

$$\tg x =0 \text( या ) \sin 2x = 0.$$

इन समीकरणों को हल करना आसान है. हम पाते हैं:

$$x = \pi k \text( या ) 2x = \pi k,$$

$$x = \pi k \text( या ) x = \frac(\pi k)(2).$$

अब सबसे दिलचस्प बात: चूँकि हमारे पास ODZ था, हमें जड़ों का चयन करने की आवश्यकता है। आइए हम जड़ों की परिणामी श्रृंखला को एक वृत्त पर अंकित करें। (यह कैसे करें संलग्न वीडियो में विस्तार से दिखाया गया है।)

ODZ नीले रंग में चिह्नित है, समाधान लाल रंग में हैं। यह देखा जा सकता है कि उत्तर `x = \pi k` होगा।

यह पाँचवाँ पाठ समाप्त करता है। समीकरणों को हल करने का अभ्यास अवश्य करें। सामान्य शब्दों में किसी समाधान की प्रगति जानना एक बात है, किसी विशिष्ट समस्या को हल करते समय अपना दृष्टिकोण जानना दूसरी बात है। समस्या को हल करने के प्रत्येक तत्व का धीरे-धीरे अभ्यास करें। अब मुख्य बात यह है कि त्रिकोणमितीय वृत्त के साथ सक्षमता से काम करना सीखें, इसकी सहायता से समाधान खोजें, ओडीजेड देखें और द्विघात समीकरणों के लिए सही ढंग से प्रतिस्थापन करें।

प्रशिक्षण के लिए कार्य

समीकरण हल करें:

• `2 \cos^2 \frac(x)(2) + \sqrt(3) \cos \frac(x)(2) = 0`,
• `3 (\tg)^2 2x + 2\tg 2x -1= 0`,
• `2\cos^2 3x - 5\cos 3x -3 =0`,
• `\sin^2 4x + \sin x - \cos^2x =0` (मूल त्रिकोणमितीय पहचान लागू करें),
• `4\sin^2 \left(x-\frac(\pi)(3) \right) - 3 =0`.

बस काफी है। अगर आप को कोई भी सवाल है, तो बस पूछो! अगर मेरा काम उपयोगी रहा हो तो लाइक करें :)

लघुगणकीय समीकरणों में ODZ.

ध्यान!
अतिरिक्त भी हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो बहुत "बहुत नहीं..." हैं
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

हम किस बिंदु पर प्राथमिक उदाहरण के जाल में फंस गए? लघुगणक को समाप्त करने के क्षण में ही। लघुगणक पूरी तरह से गायब हो गए, और उनके साथ उत्तर पर संबंधित प्रतिबंध भी गायब हो गए। एक का पता लगाए बिना। गणित में इसे कहा जाता है ओडीजेड का विस्तार.

तो अब क्या, लघुगणक का विलोपन छोड़ दें!? तब हम कुछ भी हल नहीं कर पाएंगे... नहीं, हम मना नहीं करेंगे। हम दूसरे रास्ते से जायेंगे! गणित में इस समस्या को इस प्रकार हल किया जाता है।

किसी भी लघुगणकीय समीकरण को हल करने से पहले, हम ODZ लिखते हैं। उसके बाद, आप समीकरण के साथ जो चाहें वह कर सकते हैं। मेरा मतलब है, यह आपको तय करना है...) उत्तर प्राप्त करने के बाद, आपको बस यह पता लगाना होगा कि जड़ें ओडीजेड में शामिल हैं या नहीं। इनमें शामिल संपूर्ण, सही समाधान हैं। जिन्हें शामिल नहीं किया जाता उन्हें बेरहमी से बाहर कर दिया जाता है. ये जड़ें स्वतंत्र रूप से समाधान प्रक्रिया के दौरान बनी थीं; वे अनावश्यक हैं। उन्हें कभी-कभी यह कहा जाता है: बाहरी जड़ें.

ODZ कैसे रिकॉर्ड करें?

बहुत सरल। आइए मूल उदाहरण का ध्यानपूर्वक परीक्षण करें। हम समाधान नहीं करते, हम परिवर्तन नहीं करते, बिल्कुल निरीक्षण, और बिल्कुल मूल!क्या यह महत्वपूर्ण है! और यह आसान भी है. हम उदाहरण में खतरनाक स्थानों की तलाश करते हैं। यह विभाजनएक्स के साथ अभिव्यक्ति के लिए, यहां तक ​​कि जड़ निष्कर्षण भीएक्स और के साथ अभिव्यक्ति से लघुगणकएक्स के साथ.

हम नहीं जानते कि x क्या है, ठीक है? हमने अभी तक उदाहरण हल नहीं किया है. लेकिन हम दृढ़ता से आश्वस्त हैं कि वे एक्स जो शून्य से विभाजन देंगे, एक ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल लेंगे और लघुगणक पर प्रतिबंधों का उल्लंघन करेंगे स्पष्ट रूप से उत्तर के रूप में उपयुक्त नहीं हैं।ये एक्स मूल उदाहरण को बकवास में बदल देते हैं। अत: x के ऐसे मान अस्वीकार्य हैं। x के अन्य सभी मान ODZ का गठन करेंगे। स्वीकार्य मूल्यों की सीमा. बस इतना ही।

व्यवहार में, यह सब करना बहुत आसान है। हम पढ़ते हैं और समझते हैं. आइए वही उदाहरण लें:

लॉग 3 (x 2 -3) = लॉग 3 (2x)

आइए उदाहरण देखें और पता लगाएं कि कोई विभाजन नहीं है, कोई जड़ें नहीं हैं, लेकिन समीकरण में लघुगणक के अंदर एक्स के साथ अभिव्यक्ति शामिल हैं। हमें याद है कि सबलॉगरिदमिक अभिव्यक्ति होनी चाहिए हमेशा शून्य से बड़ा.हम इसे सीधे इस प्रकार लिखते हैं:

टिप्पणी! हम कुछ नहींफैसला नहीं किया! हमने बस एक अनिवार्य शर्त लिख दी सभीउपलघुगणकीय अभिव्यक्ति. के लिए सब लोगउदाहरण में लघुगणक. सिस्टम चिह्न (घुंघराले ब्रेस) इंगित करता है कि इन शर्तों को पूरा किया जाना चाहिए इसके साथ ही।

बस इतना ही। ओडीजेड रिकॉर्ड किया गया। इतना मुश्किल नहीं है, है ना?

ODZ के साथ क्या करें?

तो, ODZ दर्ज किया गया था। आधा काम पूरा हो गया है)। इस रिकॉर्डिंग के साथ आगे क्या करना है? यहीं पर हमारे पास विकल्प हैं।

विकल्प एक, सार्वभौमिक:

हम असमानताओं की उस प्रणाली को हल करते हैं जिसे हमने ओडीजेड के लिए लिखा था।

हम केवल ODZ हल करते हैं! आइए अभी उदाहरण को न छूएं!हमें x के मान प्राप्त होते हैं जो इस समीकरण के लिए स्वीकार्य हैं। जो कोई भी जानता है कि असमानताओं की प्रणालियों को कैसे हल किया जाए, उसे हमारे डीएल के लिए निम्नलिखित उत्तर प्राप्त होगा:

वे। उत्तर के रूप में, हम केवल X का उपयोग कर सकते हैं जो तीन के मूल से बड़े हैं!

बस, तिनके बिछा दिये गये। अब आप स्वयं उदाहरण ले सकते हैं। लघुगणक हटाने और कोई अन्य परिवर्तन करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें - हमने मूल प्रतिबंध लिख दिए और उन्हें सहेज लिया।

समीकरण को स्वयं हल करने और उत्तर प्राप्त करने के बाद x 1 = 3; x 2 = -1, यह देखना आसान है कि केवल x 1 = 3 ही उत्तर के रूप में उपयुक्त है। मूल x 2 = -1 तीन के मूल से कम है, यह अप्रासंगिक है। हम बस इसे त्याग देते हैं। बस इतना ही।

यह उन लोगों के लिए अच्छा है जो असमानताओं की प्रणाली को हल करना जानते हैं, है ना?)

और यदि असमानताओं की प्रणालियों के समाधान के साथ, तो... इतना नहीं? हो कैसे?! कैसे बनें, कैसे बनें... जानें! लेकिन अगर यह वास्तव में आपको परेशान करता है... ठीक है, सिर्फ आपके लिए! विधि-प्रकाश.)

विकल्प दो, केवल सरल समीकरणों के लिए।

इसलिए, हमने ODZ को असमानताओं की एक प्रणाली के रूप में लिखा है। इस प्रणाली का समाधान नहीं हो सकता. इसे ऐसे ही छोड़ दें, इस तरह:

और अब, एक-एक करके हम इन मूल्यों को ODZ असमानताओं की प्रणाली में प्रतिस्थापित करते हैं।

x 1 = 3 के लिए:

हम बस गिनते हैं और पाते हैं:

और सब ठीक है न। दोनों असमानताएँ सत्य हैं। इसका मतलब यह है कि ट्रोइका ओडीजेड से होकर सीधे वापस चला जाता है।

दूसरा मूल x 2 = -1 रखें:

हम गिनते हैं और पाते हैं:

यह बिल्कुल झूठ है! शून्य से दो शून्य से अधिक नहीं है! इसका मतलब यह है कि यह रूट ODZ में शामिल नहीं है। इसे यूं ही फेंक दिया जाता है और कोई प्रतिक्रिया नहीं होती। सभी। ध्यान दें कि यदि जड़ कम से कम फिट नहीं होती है तो उसे बाहर फेंक दिया जाता है एकसिस्टम असमानता.

यहाँ प्रकाश विधि है. मैं इस बात पर ज़ोर देना चाहूँगा कि यह विधि सरल और स्पष्ट है। असमानताओं को हल करने का स्थान सरल गणना ने ले लिया है। सरल समीकरणों में बहुत अच्छे. और यह लघुगणकीय असमानताओं के लिए उपयुक्त नहीं है। क्या आप अनुमान लगा सकते हैं क्यों?

हां, क्योंकि असमानता के उत्तर में आमतौर पर एक या दो जड़ें नहीं होती हैं, बल्कि मध्यान्तर।वे। अनंतसंख्याओं का सेट. और प्रकाश विधि में आपको ODZ में स्थानापन्न करने की आवश्यकता है सभीअर्थ... अनंत. जो थोड़ा मुश्किल लगता है, हाँ...

यहां हमने सिर्फ एक सरल उदाहरण देखा है। लेकिन डीजेड के साथ ऐसे काम का सार अपरिवर्तित रहता है कोईलघुगणकीय समीकरण.

खैर, हमने ओडीजेड से निपटा है - लघुगणक समीकरणों में मुख्य जाल। सबसे अधिक चौकस व्यक्ति पूछ सकता है कि पिछले पाठ में हमने ओडीजेड के बिना काम क्यों चलाया? हाँ, बात सिर्फ इतनी है कि ODZ ने उत्तर को किसी भी तरह प्रभावित नहीं किया! आप इसे स्वयं जांच सकते हैं। ऐसा होता है। हमने तय किया कि हमें ODZ के बारे में याद नहीं है (या बिल्कुल नहीं पता...), लेकिन फिर भी हमें सही उत्तर मिल गया। बहुत भाग्यशाली। मैं कह रहा हूं कि यह एक लॉटरी है, यदि आप ओडीजेड के बिना निर्णय लेते हैं...)

और अब - ध्यान!

इस काम पर लग जाओ। और एक सरल विचार याद रखें. यह विचार आपको निर्णय लेने में असमंजस और मन में असमंजस की स्थिति से बचाएगा:

किसी भी लघुगणकीय समीकरण के समाधान में दो बराबर भाग होते हैं। एक भाग स्वयं समीकरण को हल कर रहा है। दूसरा है डीएल की शर्तों का समाधान। इन हिस्सों का समाधान हो गया है ध्यान दिए बगैरएक दूसरे से। समाधान के अंतिम चरण में परिणामों को संयोजित किया जाता है।

यहाँ मुख्य शब्द है "ध्यान दिए बगैर". ODZ को हल करते समय, आपको समीकरण के बारे में याद रखने की ज़रूरत नहीं है। और इसके विपरीत। मुख्य बात यह है कि अंत में परिणामों की तुलना करना न भूलें, अतिरिक्त को फेंक दें और सही उत्तर लिखें।)

आइए इसे व्यावहारिक सलाह में संक्षेपित करें।

व्यावहारिक सुझाव:

1. सबसे पहले हम DL की शर्तों को लिखते हैं मूल के अनुसार उदाहरण।

2. हम चुनते हैं कि समाधान कहां से शुरू करें। आप एक समीकरण से शुरू कर सकते हैं, या आप ODZ की शर्तों से शुरू कर सकते हैं। हम वह चुनते हैं जिसे हल करना आसान होता है।

3. समीकरण और ODZ को हल करने के बाद, हम परिणामों को एक सामान्य उत्तर में सारांशित करते हैं।

4. यदि उदाहरण अनुमति देता है, तो डीएल को हल करने की आवश्यकता नहीं है। यह समीकरण के परिणामों को ओडीजेड की लिखित शर्तों में प्रतिस्थापित करने और जांचने के लिए पर्याप्त है कि कौन से समाधान पास होते हैं। उत्तर के लिए उन्हें ले लो.

खैर, हमेशा की तरह, हम इसका पता लगा लेंगे। यहां केवल कुछ उदाहरण हैं, लेकिन वे ओडीजेड के साथ सबसे लोकप्रिय चिप्स को कवर करते हैं। कुछ तरकीबें (यदि आप उन्हें देखें) आपको समाधान को छोटा करने की अनुमति देती हैं दस गुना!मैंने कोई मज़ाक नहीं किया।

समीकरणों का मूल या मूलों का योग (यदि कई हों) ज्ञात करें:

लॉग 2 (x 2 +5x-6) = लॉग 2 (4x)

ln(x 3 -7x+2sinx+3) = ln(x 3 -7x+2sinx-4)

उत्तर (अव्यवस्था में): 2; कोई समाधान नहीं हैं; 1; -5.

अच्छा, यह कैसा है? मैंने नोट किया है कि कुछ उदाहरणों का डरावना स्वरूप धोखा देने वाला है। उन्हें आसानी से हल किया जा सकता है।) यदि आपने सब कुछ जल्दी और सही ढंग से किया, तो आप अधिक कठिन कार्य कर सकते हैं।

यदि यह काम नहीं करता है, या इसे हल करने में लंबा समय लगता है, तो अनुभाग 555 पर जाएँ। वहाँ इन उदाहरणों का विस्तार से विश्लेषण किया गया है। सही और के लिए तकनीकें तेज़समाधान। कभी-कभी लघुगणकीय समीकरणों में आधे, या उससे भी अधिक को हल करने की बिल्कुल भी आवश्यकता नहीं होती है। उत्तर फिर भी सही होगा. हां हां! धारा 555 इस पर विशेष जोर देती है।

अब आप सरल लघुगणकीय समीकरणों को काफी विश्वसनीय ढंग से हल कर सकते हैं। लॉटरी नहीं, हाँ...)

और जटिल समीकरणों को सरलतम में कैसे कम करें, लघुगणक और चर प्रतिस्थापन के गुणों का पूर्ण उपयोग कैसे करें, "ओडीजेड को संकीर्ण करना" नामक घात में कैसे न पड़ें - यह सब निम्नलिखित पाठों में होगा।

यदि आपको यह साइट पसंद है...

वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। त्वरित सत्यापन के साथ परीक्षण। आइए जानें - रुचि के साथ!)

आप फ़ंक्शंस और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

शमशुरिन ए.वी. 1

गागरिना एन.ए. 1

1 नगरपालिका बजटीय शैक्षणिक संस्थान "माध्यमिक विद्यालय संख्या 31"

कार्य का पाठ छवियों और सूत्रों के बिना पोस्ट किया गया है।
कार्य का पूर्ण संस्करण पीडीएफ प्रारूप में "कार्य फ़ाइलें" टैब में उपलब्ध है

परिचय

मैंने इंटरनेट पर बहुत सारे गणित विषयों को देखना शुरू किया और इस विषय को चुना क्योंकि मेरा मानना ​​है कि डीएल खोजने का महत्व समीकरणों और समस्याओं को हल करने में बहुत बड़ी भूमिका निभाता है। अपने शोध कार्य में, मैंने ऐसे समीकरणों की जांच की जिनमें केवल ओडीजेड, खतरे, वैकल्पिकता, सीमित ओडीजेड और गणित में कुछ निषेधों को खोजना ही पर्याप्त है। मेरे लिए सबसे महत्वपूर्ण बात गणित में यूनिफाइड स्टेट परीक्षा को अच्छी तरह से पास करना है, और इसके लिए मुझे यह जानना होगा: डीएल कब, क्यों और कैसे खोजना है। इसने मुझे इस विषय पर शोध करने के लिए प्रेरित किया, जिसका उद्देश्य यह दिखाना था कि इस विषय में महारत हासिल करने से छात्रों को एकीकृत राज्य परीक्षा में कार्यों को सही ढंग से पूरा करने में मदद मिलेगी। इस लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए, मैंने अतिरिक्त साहित्य और अन्य स्रोतों पर शोध किया। मैं सोच रहा था कि क्या हमारे स्कूल के छात्रों को पता है: ओडीजेड कब, क्यों और कैसे खोजना है। इसलिए, मैंने "ओडीजेड कब, क्यों और कैसे खोजें?" विषय पर एक परीक्षण आयोजित किया। (10 समीकरण दिए गए थे)। छात्रों की संख्या 28 है। उन्होंने इसका सामना किया - 14%, डीडी का खतरा (ध्यान में रखा गया) - 68%, वैकल्पिकता (ध्यान में रखा गया) - 36%।

लक्ष्य: पहचान: ओडीजेड कब, क्यों और कैसे खोजें।

संकट:जिन समीकरणों और असमानताओं में ODZ को ढूंढना आवश्यक है, उन्हें व्यवस्थित प्रस्तुति के लिए बीजगणित पाठ्यक्रम में जगह नहीं मिली है, शायद यही कारण है कि मेरे साथी और मैं अक्सर ऐसे उदाहरणों को हल करते समय गलतियाँ करते हैं, उन्हें हल करने में बहुत समय बिताते हैं, जबकि भूल जाते हैं ODZ के बारे में

कार्य:

1. समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय ODZ का महत्व दिखाएँ।
2. इस विषय पर व्यावहारिक कार्य करें और उसके परिणामों को संक्षेप में प्रस्तुत करें।

मुझे लगता है कि मैंने जो ज्ञान और कौशल हासिल किया है, उससे मुझे इस प्रश्न को हल करने में मदद मिलेगी: क्या डीजेड की तलाश करना आवश्यक है या नहीं? ओडीजेड को सही तरीके से करना सीखकर मैं गलतियाँ करना बंद कर दूँगा। मैं यह कर सकता हूं या नहीं, यह समय, या यूँ कहें कि एकीकृत राज्य परीक्षा ही बताएगा।

अध्याय 1

ओडीजेड क्या है?

ओडीजेड है स्वीकार्य मूल्यों की सीमा, अर्थात्, ये सभी वेरिएबल के मान हैं जिनके लिए अभिव्यक्ति समझ में आती है।

महत्वपूर्ण। ODZ को खोजने के लिए हम एक उदाहरण का समाधान नहीं करते हैं! हम निषिद्ध स्थानों को खोजने के लिए उदाहरण के टुकड़े हल करते हैं।

गणित में कुछ निषेध.गणित में ऐसे वर्जित कार्य बहुत कम हैं। लेकिन हर कोई उन्हें याद नहीं रखता...

• सम बहुलता चिह्न वाले भाव या>0 या शून्य के बराबर होने चाहिए, ODZ:f(x)
• भिन्न के हर में व्यंजक शून्य के बराबर नहीं हो सकता, ODZ:f(x)
• |f(x)|=g(x), ODZ: g(x) 0

ODZ कैसे रिकॉर्ड करें?बहुत सरल। उदाहरण के आगे हमेशा ODZ लिखें. इन ज्ञात अक्षरों के अंतर्गत, मूल समीकरण को देखते हुए, हम x के वे मान लिखते हैं जो मूल उदाहरण के लिए अनुमत हैं। उदाहरण को बदलने से OD और, तदनुसार, उत्तर बदल सकता है।

ODZ खोजने के लिए एल्गोरिदम:

1. निषेध का प्रकार निर्धारित करें.
2. वे मान खोजें जिन पर अभिव्यक्ति का कोई अर्थ नहीं है।
3. वास्तविक संख्याओं R के समुच्चय से इन मानों को हटा दें।

समीकरण हल करें: =

स्वीकार्य मूल्यों की सीमा हमें ऐसी गंभीर त्रुटियों से बचाती है। सच कहूँ तो, यह ODZ के कारण है कि कई "शॉक छात्र" "C" छात्रों में बदल जाते हैं। यह मानते हुए कि डीएल की खोज करना और उस पर ध्यान देना समाधान में एक महत्वहीन कदम है, वे इसे छोड़ देते हैं, और फिर आश्चर्य करते हैं: "शिक्षक ने इसे 2 क्यों दिया?" हां, इसीलिए मैंने इसे डाला क्योंकि उत्तर गलत है! यह किसी शिक्षक की "किट-पिकिंग" नहीं है, बल्कि एक बहुत ही विशिष्ट गलती है, जैसे गलत गणना या खोया हुआ चिह्न।

अतिरिक्त समीकरण:

ए) = ; बी) -42=14x+; ग) =0; घ) |x-5|=2x-2

अध्याय दो

ओडीजेड. किस लिए? कब? कैसे?

स्वीकार्य मूल्यों की सीमा - एक समाधान है

1. ODZ एक खाली सेट है, जिसका अर्थ है कि मूल उदाहरण का कोई समाधान नहीं है

• = ओडीजेड:

उत्तर: कोई जड़ नहीं.

• = ओडीजेड:

उत्तर: कोई जड़ नहीं.

0, समीकरण का कोई मूल नहीं है

उत्तर: कोई जड़ नहीं.

अतिरिक्त उदाहरण:

ए) + =5; बी) + =23x-18; ग) =0.

1. ODZ में एक या अधिक संख्याएँ होती हैं, और एक साधारण प्रतिस्थापन शीघ्र ही मूलों को निर्धारित कर देता है।

ओडीजेड: x=2, x=3

जांचें: x=2, + , 0<1, верно

जांचें: x=3, + , 0<1, верно.

उत्तर: x=2, x=3.

• > ODZ: x=1,x=0

जांचें: x=0, > , 0>0, गलत

जांचें: x=1, > , 1>0, सत्य

उत्तर: x=1.

• + =x ODZ: x=3

जांचें: + =3, 0=3, गलत।

उत्तर: कोई जड़ नहीं.

अतिरिक्त उदाहरण:

ए) = ; बी) + =0; सी) + =एक्स -1

डीडी का खतरा

ध्यान दें कि पहचान परिवर्तन हो सकते हैं:

• डीएल को प्रभावित न करें;
• विस्तारित डीएल की ओर ले जाएं;
• ODZ के संकुचन का कारण बनता है।

यह भी ज्ञात है कि मूल ओडीजेड को बदलने वाले कुछ परिवर्तनों के परिणामस्वरूप गलत निर्णय हो सकते हैं।

आइए प्रत्येक मामले को एक उदाहरण से स्पष्ट करें।

1) अभिव्यक्ति x + 4x + 7x पर विचार करें, इसके लिए चर x का ODZ समुच्चय R है। आइए समान शर्तें प्रस्तुत करें। परिणामस्वरूप, यह x 2 +11x का रूप ले लेगा। जाहिर है, इस अभिव्यक्ति के चर x का ODZ भी एक सेट R है। इस प्रकार, किए गए परिवर्तन से ODZ नहीं बदला।

2) समीकरण x+ - =0 लें। इस मामले में, ODZ: x≠0. इस अभिव्यक्ति में भी समान पद शामिल हैं, जिन्हें कम करने के बाद हम अभिव्यक्ति x पर पहुंचते हैं, जिसके लिए ODZ R है। हम क्या देखते हैं: परिवर्तन के परिणामस्वरूप, ODZ का विस्तार किया गया था (संख्या शून्य को ODZ में जोड़ा गया था) मूल अभिव्यक्ति के लिए चर x)।

3) आइए अभिव्यक्ति लेते हैं। चर x का VA असमानता (x−5)·(x−2)≥0 द्वारा निर्धारित किया जाता है, VA: (−∞, 2]∪∪/एक्सेस मोड: साइटों से सामग्री www.fipi.ru, www.eg

परिशिष्ट 1

व्यावहारिक कार्य "ODZ: कब, क्यों और कैसे?"

परिशिष्ट 2

व्यावहारिक कार्य के कार्यों के उत्तर "ODZ: कब, क्यों और कैसे?"