पेंडुलम पर कौन सी शक्तियाँ कार्य करती हैं? गणितीय पेंडुलम: अवधि, त्वरण और सूत्र। गणितीय पेंडुलम का व्यावहारिक अनुप्रयोग

एक यांत्रिक प्रणाली जिसमें एक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में एक अविभाज्य भारहीन धागे (इसका द्रव्यमान शरीर के वजन की तुलना में नगण्य है) पर लटका हुआ एक भौतिक बिंदु (शरीर) होता है, गणितीय पेंडुलम कहा जाता है (दूसरा नाम एक थरथरानवाला है)। इस उपकरण के अन्य प्रकार भी हैं। धागे के स्थान पर भारहीन छड़ का प्रयोग किया जा सकता है। एक गणितीय पेंडुलम कई दिलचस्प घटनाओं का सार स्पष्ट रूप से प्रकट कर सकता है। जब कंपन का आयाम छोटा होता है, तो इसकी गति को हार्मोनिक कहा जाता है।

यांत्रिक प्रणाली अवलोकन

इस पेंडुलम के दोलन की अवधि का सूत्र डच वैज्ञानिक ह्यूजेन्स (1629-1695) द्वारा निकाला गया था। आई. न्यूटन के समकालीन इस यांत्रिक प्रणाली में बहुत रुचि रखते थे। 1656 में उन्होंने पेंडुलम तंत्र वाली पहली घड़ी बनाई। उन्होंने उस समय के लिए असाधारण सटीकता के साथ समय को मापा। यह आविष्कार भौतिक प्रयोगों और व्यावहारिक गतिविधियों के विकास में एक प्रमुख चरण बन गया।

यदि पेंडुलम संतुलन की स्थिति में है (ऊर्ध्वाधर लटका हुआ है), तो यह धागे के तनाव बल द्वारा संतुलित किया जाएगा। एक अवितानीय धागे पर एक सपाट पेंडुलम युग्मन के साथ स्वतंत्रता की दो डिग्री वाली एक प्रणाली है। जब आप केवल एक घटक बदलते हैं, तो उसके सभी भागों की विशेषताएँ बदल जाती हैं। इसलिए, यदि धागे को रॉड से बदल दिया जाए, तो इस यांत्रिक प्रणाली में केवल 1 डिग्री की स्वतंत्रता होगी। गणितीय पेंडुलम में क्या गुण होते हैं? इस सरलतम प्रणाली में, आवधिक गड़बड़ी के प्रभाव में अराजकता उत्पन्न होती है। ऐसे मामले में जब निलंबन बिंदु हिलता नहीं है, बल्कि दोलन करता है, पेंडुलम की एक नई संतुलन स्थिति होती है। तेजी से ऊपर और नीचे दोलनों के साथ, यह यांत्रिक प्रणाली एक स्थिर "उल्टा" स्थिति प्राप्त कर लेती है। इसका अपना नाम भी है. इसे कपित्सा पेंडुलम कहा जाता है।

पेंडुलम के गुण

गणितीय पेंडुलम में बहुत दिलचस्प गुण हैं। उन सभी की पुष्टि ज्ञात भौतिक नियमों द्वारा की जाती है। किसी भी अन्य पेंडुलम के दोलन की अवधि विभिन्न परिस्थितियों पर निर्भर करती है, जैसे पिंड का आकार और आकार, निलंबन बिंदु और गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के बीच की दूरी और इस बिंदु के सापेक्ष द्रव्यमान का वितरण। इसीलिए किसी शव को फांसी पर लटकाने की अवधि निर्धारित करना काफी मुश्किल काम है। गणितीय पेंडुलम की अवधि की गणना करना बहुत आसान है, जिसका सूत्र नीचे दिया जाएगा। समान यांत्रिक प्रणालियों के अवलोकन के परिणामस्वरूप, निम्नलिखित पैटर्न स्थापित किए जा सकते हैं:

यदि हम पेंडुलम की समान लंबाई बनाए रखते हुए अलग-अलग भार लटकाते हैं, तो उनके दोलन की अवधि समान होगी, हालांकि उनका द्रव्यमान बहुत भिन्न होगा। नतीजतन, ऐसे पेंडुलम की अवधि भार के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करती है।

यदि, सिस्टम शुरू करते समय, पेंडुलम को बहुत बड़े नहीं, बल्कि विभिन्न कोणों पर विक्षेपित किया जाता है, तो यह एक ही अवधि के साथ, लेकिन विभिन्न आयामों के साथ दोलन करना शुरू कर देगा। जब तक संतुलन के केंद्र से विचलन बहुत बड़े नहीं होते, तब तक उनके रूप में कंपन हार्मोनिक के काफी करीब होंगे। ऐसे पेंडुलम की अवधि किसी भी तरह से दोलन आयाम पर निर्भर नहीं करती है। किसी दिए गए यांत्रिक प्रणाली की इस संपत्ति को आइसोक्रोनिज़्म कहा जाता है (ग्रीक से अनुवादित "क्रोनोस" - समय, "आइसोस" - बराबर)।

गणितीय पेंडुलम की अवधि

यह सूचक उस अवधि का प्रतिनिधित्व करता है, जटिल सूत्रीकरण के बावजूद, प्रक्रिया स्वयं बहुत सरल है। यदि गणितीय लोलक के धागे की लंबाई L है, और मुक्त गिरावट का त्वरण g है, तो यह मान बराबर है:

छोटे प्राकृतिक दोलनों की अवधि किसी भी तरह से पेंडुलम के द्रव्यमान और दोलनों के आयाम पर निर्भर नहीं करती है। इस मामले में, पेंडुलम कम लंबाई के साथ गणितीय रूप में चलता है।

गणितीय लोलक का दोलन

एक गणितीय पेंडुलम दोलन करता है, जिसे एक साधारण अंतर समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है:

x + ω2 पाप x = 0,

जहां x (t) एक अज्ञात फलन है (यह क्षण t पर निचली संतुलन स्थिति से विचलन का कोण है, जिसे रेडियन में व्यक्त किया गया है); ω एक सकारात्मक स्थिरांक है, जो पेंडुलम के मापदंडों से निर्धारित होता है (ω = √g/L, जहां g गुरुत्वाकर्षण का त्वरण है, और L गणितीय पेंडुलम (निलंबन) की लंबाई है।

संतुलन स्थिति (हार्मोनिक समीकरण) के पास छोटे कंपन के लिए समीकरण इस तरह दिखता है:

x + ω2 पाप x = 0

पेंडुलम की दोलनशील गतियाँ

एक गणितीय पेंडुलम, जो छोटे दोलन करता है, एक साइनसॉइड के साथ चलता है। दूसरे क्रम का अंतर समीकरण ऐसी गति की सभी आवश्यकताओं और मापदंडों को पूरा करता है। प्रक्षेपवक्र निर्धारित करने के लिए, गति और समन्वय निर्धारित करना आवश्यक है, जिससे स्वतंत्र स्थिरांक निर्धारित होते हैं:

x = एक पाप (θ 0 + ωt),

जहां θ 0 प्रारंभिक चरण है, ए दोलन आयाम है, ω गति के समीकरण से निर्धारित चक्रीय आवृत्ति है।

गणितीय पेंडुलम (बड़े आयामों के लिए सूत्र)

यह यांत्रिक प्रणाली, जो एक महत्वपूर्ण आयाम के साथ दोलन करती है, गति के अधिक जटिल नियमों के अधीन है। ऐसे पेंडुलम के लिए उनकी गणना सूत्र के अनुसार की जाती है:

पाप x/2 = u * sn(ωt/u),

जहां एस जैकोबी साइन है, जो आपके लिए है< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

यू = (ε + ω2)/2ω2,

जहाँ ε = E/mL2 (mL2 लोलक की ऊर्जा है)।

एक अरैखिक पेंडुलम के दोलन की अवधि सूत्र का उपयोग करके निर्धारित की जाती है:

जहां Ω = π/2 * ω/2K(u), K अण्डाकार समाकलन है, π - 3,14.

एक विभाजक के साथ एक पेंडुलम की गति

एक सेपरेट्रिक्स एक गतिशील प्रणाली का प्रक्षेपवक्र है जिसमें द्वि-आयामी चरण स्थान होता है। एक गणितीय पेंडुलम गैर-आवधिक रूप से इसके साथ चलता है। समय में एक अनंत दूर के क्षण में, यह अपनी उच्चतम स्थिति से शून्य गति के साथ गिरता है, फिर धीरे-धीरे इसे प्राप्त करता है। अंततः यह रुक जाता है, अपनी मूल स्थिति में लौट आता है।

यदि पेंडुलम के दोलनों का आयाम संख्या के करीब पहुंचता है π , यह इंगित करता है कि चरण तल पर गति विभाजक के निकट आ रही है। इस मामले में, एक छोटे ड्राइविंग आवधिक बल के प्रभाव में, यांत्रिक प्रणाली अराजक व्यवहार प्रदर्शित करती है।

जब एक गणितीय पेंडुलम एक निश्चित कोण φ के साथ संतुलन स्थिति से विचलित होता है, तो गुरुत्वाकर्षण का एक स्पर्शरेखा बल Fτ = -mg पाप φ उत्पन्न होता है। ऋण चिह्न का अर्थ है कि यह स्पर्शरेखा घटक पेंडुलम के विक्षेपण के विपरीत दिशा में निर्देशित है। जब त्रिज्या L के साथ एक वृत्ताकार चाप के अनुदिश पेंडुलम के विस्थापन को x से निरूपित किया जाता है, तो इसका कोणीय विस्थापन φ = x/L के बराबर होता है। प्रक्षेपण और बल के लिए अभिप्रेत दूसरा नियम, वांछित मूल्य देगा:

mg τ = Fτ = -mg पाप x/L

इस संबंध के आधार पर, यह स्पष्ट है कि यह पेंडुलम एक अरैखिक प्रणाली है, क्योंकि जो बल इसे संतुलन स्थिति में लौटाता है वह हमेशा विस्थापन x के नहीं, बल्कि पाप x/L के समानुपाती होता है।

केवल जब एक गणितीय पेंडुलम छोटे दोलन करता है तो वह एक हार्मोनिक थरथरानवाला होता है। दूसरे शब्दों में, यह एक यांत्रिक प्रणाली बन जाती है जो हार्मोनिक दोलन करने में सक्षम होती है। यह सन्निकटन 15-20° के कोणों के लिए व्यावहारिक रूप से मान्य है। बड़े आयाम वाले पेंडुलम के दोलन हार्मोनिक नहीं होते हैं।

पेंडुलम के छोटे दोलनों के लिए न्यूटन का नियम

यदि कोई दी गई यांत्रिक प्रणाली छोटे दोलन करती है, तो न्यूटन का दूसरा नियम इस तरह दिखेगा:

mg τ = Fτ = -m* g/L* x.

इसके आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि एक गणितीय पेंडुलम ऋण चिह्न के साथ अपने विस्थापन के समानुपाती होता है। यह वह स्थिति है जिसके कारण सिस्टम एक हार्मोनिक ऑसिलेटर बन जाता है। विस्थापन और त्वरण के बीच आनुपातिकता गुणांक का मापांक वृत्ताकार आवृत्ति के वर्ग के बराबर होता है:

ω02 = जी/एल; ω0 = √ जी/एल.

यह सूत्र इस प्रकार के पेंडुलम के छोटे दोलनों की प्राकृतिक आवृत्ति को दर्शाता है। इस पर आधारित,

टी = 2π/ ω0 = 2π√ जी/एल.

ऊर्जा संरक्षण के नियम पर आधारित गणना

ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करके पेंडुलम के गुणों का भी वर्णन किया जा सकता है। यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में पेंडुलम बराबर है:

E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2

कुल गतिज या अधिकतम क्षमता के बराबर है: एपमैक्स = एकएमएसएक्स = ई

ऊर्जा संरक्षण का नियम लिखे जाने के बाद, समीकरण के दाएं और बाएं पक्षों का व्युत्पन्न लें:

चूँकि स्थिर मात्राओं का अवकलज 0 के बराबर होता है, तो (Ep + Ek)" = 0. योग का अवकलज अवकलजों के योग के बराबर होता है:

Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x" ​​= mg/L*v + एक" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2* 2v*v" = mv* α,

इस तरह:

Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + m α) = 0.

अंतिम सूत्र के आधार पर, हम पाते हैं: α = - g/L*x।

गणितीय पेंडुलम का व्यावहारिक अनुप्रयोग

त्वरण अक्षांश के साथ बदलता रहता है क्योंकि पृथ्वी की पपड़ी का घनत्व पूरे ग्रह में समान नहीं है। जहां अधिक घनत्व वाली चट्टानें होती हैं, वहां यह थोड़ी ऊंची होगी। गणितीय पेंडुलम के त्वरण का उपयोग अक्सर भूवैज्ञानिक अन्वेषण के लिए किया जाता है। इसका उपयोग विभिन्न खनिजों की खोज के लिए किया जाता है। बस एक पेंडुलम के दोलनों की संख्या की गणना करके, आप पृथ्वी के आंत्र में कोयले या अयस्क का पता लगा सकते हैं। यह इस तथ्य के कारण है कि ऐसे जीवाश्मों का घनत्व और द्रव्यमान अंतर्निहित ढीली चट्टानों से अधिक होता है।

गणितीय पेंडुलम का उपयोग सुकरात, अरस्तू, प्लेटो, प्लूटार्क, आर्किमिडीज़ जैसे उत्कृष्ट वैज्ञानिकों द्वारा किया गया था। उनमें से कई का मानना ​​था कि यह यांत्रिक प्रणाली किसी व्यक्ति के भाग्य और जीवन को प्रभावित कर सकती है। आर्किमिडीज़ ने अपनी गणनाओं में गणितीय पेंडुलम का उपयोग किया। आजकल, कई तांत्रिक और मनोविज्ञानी अपनी भविष्यवाणियों को पूरा करने या लापता लोगों की खोज के लिए इस यांत्रिक प्रणाली का उपयोग करते हैं।

प्रसिद्ध फ्रांसीसी खगोलशास्त्री और प्रकृतिवादी के. फ्लेमरियन ने भी अपने शोध के लिए गणितीय पेंडुलम का उपयोग किया था। उन्होंने दावा किया कि इसकी मदद से वह एक नए ग्रह की खोज, तुंगुस्का उल्कापिंड की उपस्थिति और अन्य महत्वपूर्ण घटनाओं की भविष्यवाणी करने में सक्षम थे। द्वितीय विश्व युद्ध के दौरान, जर्मनी (बर्लिन) में एक विशेष पेंडुलम संस्थान संचालित हुआ। आजकल म्यूनिख इंस्टीट्यूट ऑफ पैरासाइकोलॉजी इसी तरह के शोध में लगा हुआ है। इस प्रतिष्ठान के कर्मचारी पेंडुलम के साथ अपने काम को "रेडिएस्थेसिया" कहते हैं।

हालाँकि इस पर विश्वास मत करो मामला।इन सभी आर्टिकल को ध्यान से पढ़ें. तब वह चमकते सूर्य की भाँति स्पष्ट हो जायेगा।

जिस प्रकार सभी लोगों के हाथ और मस्तिष्क में रहस्यमय शक्ति नहीं होती, उसी प्रकार सभी लोगों के हाथों में मौजूद पेंडुलम भी रहस्यमय नहीं हो सकता। यह शक्ति अर्जित नहीं की जाती, बल्कि व्यक्ति के साथ जन्मजात होती है। एक परिवार में एक अमीर पैदा होता है और दूसरा गरीब। किसी के पास स्वाभाविक रूप से अमीर को गरीब बनाने या इसके विपरीत करने की शक्ति नहीं है। अब इससे आप समझ गए कि मैं आपसे क्या कहना चाहता था. यदि आप नहीं समझते हैं, तो अपने आप को दोष दें, आपका जन्म इसी तरह हुआ है।

पेंडुलम क्या है? यह किस चीज़ से बना है? पेंडुलम एक डोरी से जुड़ा कोई भी स्वतंत्र रूप से घूमने वाला पिंड है। गुरु के हाथ में एक साधारण ईख भी कोकिला की तरह गाती है। इसके अलावा, एक प्रतिभाशाली बायोमास्टर के हाथों में, एक पेंडुलम मानव अस्तित्व और अस्तित्व के क्षेत्र में अविश्वसनीय प्रभाव डालता है।

ऐसा हमेशा नहीं होता कि आप अपने साथ पेंडुलम लेकर चलें। इसलिए मुझे एक परिवार की खोई हुई अंगूठी ढूंढनी थी, लेकिन मेरे पास पेंडुलम नहीं था। मैंने चारों ओर देखा और एक वाइन कॉर्क पर मेरी नज़र पड़ी। कॉर्क के लगभग बीच से, मैंने चाकू से एक छोटा सा कट बनाया और धागा जोड़ दिया। पेंडुलम तैयार है.
मैंने उनसे पूछा: "क्या आप मेरे साथ ईमानदारी से काम करेंगे?" वह जोर-जोर से दक्षिणावर्त दिशा में घूम रहा था, मानो खुशी से जवाब दे रहा हो। मानसिक रूप से उसे बताएं: "चलो फिर लापता अंगूठी ढूंढते हैं।" समझौते के संकेत के रूप में पेंडुलम फिर से चला गया। मैं आँगन में घूमने लगा।

क्योंकि बहू ने कहा कि वह अभी घर में दाखिल नहीं हुई थी तभी उसने देखा कि उसकी उंगली में अंगूठी नहीं है. उसने यह भी कहा कि वह लंबे समय से जौहरी के पास जाना चाहती थी, क्योंकि उसकी उंगलियां पतली हो गई थीं और अंगूठी गिरने लगी थी। अचानक, मेरे हाथ में पेंडुलम थोड़ा हिल गया, थोड़ा पीछे मुड़ गया, पेंडुलम शांत हो गया। मैं आगे बढ़ा, लेकिन पेंडुलम फिर चला गया। वह चला गया, फिर चुप हो गया, मैं चकित रह गया। बाईं ओर पेंडुलम शांत है, आगे की ओर यह शांत है। दाईं ओर कहीं न जाएं. वहां एक छोटी सी खाई बह रही है. अचानक मुझे एहसास हुआ और मैंने पेंडुलम को सीधे पानी के ऊपर पकड़ लिया। पेंडुलम तीव्रता से दक्षिणावर्त घूमने लगा। मैंने अपनी बहू को फोन किया और अंगूठी का स्थान दिखाया।
अपनी आंखों में खुशी के साथ, वह खाई में खोजबीन करने लगी और उसे तुरंत अंगूठी मिल गई। पता चला कि वह एक गड्ढे में हाथ धो रही थी और उसी समय अंगूठी गिर गई, लेकिन उसे ध्यान नहीं आया। उपस्थित सभी लोगों ने वाइन कॉर्क के काम की प्रशंसा की।

सभी लोग जन्म से भविष्यवक्ता या ज्योतिषी नहीं होते। सभी भविष्यवक्ता या ज्योतिषी सफल नहीं होते। कुछ भविष्यवक्ता छोटी त्रुटियों के साथ काम करते हैं, लेकिन कई जिप्सियों की तरह धोखा देते हैं। पेंडुलम भी ऐसा ही है. अयोग्य व्यक्ति के पास वह बेकार चीज होती है, भले ही वह सोने की बनी हो, लेकिन उसका कोई मतलब नहीं होता। एक सच्चे गुरु के हाथों में, साधारण पत्थर या अखरोट का एक टुकड़ा चमत्कार करता है।
मुझे यह कल की तरह याद है. एक सभा में, मैंने अपनी जैकेट उतार दी और थोड़ी देर के लिए बाहर चला गया। जब मैं लौटा तो मुझे लगा कि मेरे दिल में कुछ गड़बड़ है। यंत्रवत् वह अपनी जेब टटोलने लगा। पता चला कि कोई मेरा चाँदी का पेंडुलम ले गया। मैं चुप हो गया और जो कुछ हुआ उसके बारे में किसी को नहीं बताया।
कई दिन बीत गए और एक दिन उन लोगों में से एक जो उस सभा में हमारे साथ बैठे थे, जहां मेरा पेंडुलम खो गया था, मेरे घर आए। उन्होंने गहराई से माफ़ी मांगी और मुझे पेंडुलम सौंप दिया। इससे पता चला कि उसने सोचा कि सारी शक्ति मेरे पेंडुलम पर है और उसने सोचा कि यह पेंडुलम भी मेरे जैसे ही उसके लिए काम करेगा।
जब उसे अपनी गलती का एहसास हुआ, तो उसकी अंतरात्मा ने उसे काफी देर तक पीड़ा दी और आखिरकार उसने पेंडुलम को उसके मालिक को लौटाने का फैसला किया। मैंने उसकी माफ़ी स्वीकार कर ली और उसे चाय भी पिलाई और उसका निदान भी किया। मैंने पेंडुलम से उनमें कई बीमारियाँ देखीं और उनके लिए उचित दवाएँ तैयार कीं।
कुछ लोगों के पास उपचार और भविष्यवाणी का प्राकृतिक उपहार होता है। ये प्रतिभा सालों तक सामने नहीं आ पाती. कभी-कभी, संयोगवश, उनकी मुलाकात किसी विशेषज्ञ से हो जाती है, और वह उन्हें जीवन में उनका निर्धारित मार्ग दिखाता है।
हाल ही में एक अधेड़ उम्र की महिला निदान के लिए आई। आप उसकी शक्ल देखकर नहीं बता सकते कि वह बीमार है। उसने अपने हाथ-पैरों में अत्यधिक गर्मी की शिकायत की, उसकी दोनों हथेलियों और तलवों से लगातार गर्मी निकल रही थी, और उसे अक्सर अपने सिर के ऊपरी हिस्से में तेज़ दर्द महसूस होता था। सबसे पहले नाड़ी द्वारा इसका निदान करने के बाद, संवहनी स्वर में वृद्धि को देखते हुए, मैंने एक अर्ध-स्वचालित उपकरण से रक्तचाप को मापना शुरू किया। अंततः सिस्टोलिक और डायस्टोलिक दोनों मान कम हो गए। उन्होंने 135 से 241 का संकेत दिया, और हृदय गति ऐसे उच्च रक्तचाप के लिए मानक से कम निकली: 62 बीट प्रति मिनट। इतने उच्च रक्तचाप वाली एक महिला मेरे सामने शांति से बैठी थी। मानो मेरी संवहनी स्थिति से कोई असुविधा महसूस नहीं हो रही हो। आवश्यक (अस्पष्टीकृत) उच्च रक्तचाप ने उसे निराश नहीं किया।

मुझे उसकी नाड़ी में और नाड़ी निदान के दौरान कुछ भी गलत नहीं लगा। मैंने उसे कम सामान्य आवश्यक (अस्पष्टीकृत कारण) उच्च रक्तचाप का निदान किया। यदि कोई नियमित डॉक्टर उसका रक्तचाप मापता, तो वह तुरंत एम्बुलेंस बुलाता और उसे स्ट्रेचर पर रखता। वह उसे हिलने भी नहीं देता था। तथ्य यह है कि रक्तचाप में इतनी वृद्धि वाले व्यक्ति को उच्च रक्तचाप का संकट माना जाता है। इसके बाद सेरेब्रल स्ट्रोक या दिल का दौरा पड़ सकता है।
उनके अनुसार, नियमित उच्चरक्तचापरोधी दवाएँ उन्हें इतना बदतर महसूस कराती हैं कि उन्हें मिचली तक आ जाती है। अपने बेटे के आग्रह पर, उसने पेंडुलम का उपयोग करना सीखा; जब उसके सिर में बहुत दर्द होता है, तो वह पेंडुलम से पूछती है कि एस्पिरिन या पेंटालगिन पीना चाहिए या नहीं। बहुत कम ही, पेंडुलम की सहमति से, वह विलो पत्तियों का काढ़ा या क्विंस पत्तियों का काढ़ा लेती है, जिसे डॉक्टर मुहिद्दीन ने चार साल पहले उसे सुझाया था। यदि उसके सिर में बहुत दर्द होता है, तो वह एस्पिरिन पीती है; अत्यधिक गंभीर मामलों में, वह पेंटलगिन लेती है। उच्च रक्तचाप से ग्रस्त एक मरीज के डॉक्टर और पड़ोसी उसकी स्व-दवा पर हंसते हैं।
मैंने अपने पेंडुलम का उपयोग उन सभी दवाओं की जांच करने के लिए किया जो वह सिरदर्द और उच्च रक्तचाप के लिए लेती हैं। वे सभी कारगर साबित हुए.मैंने पेंडुलम से भी पूछा. "क्या उसके स्वास्थ्य में सुधार होगा यदि वह अपनी गर्मजोशी से लोगों को ठीक करना शुरू कर दे?", पेंडुलम तुरंत सकारात्मक रूप से दक्षिणावर्त दिशा में घूम गया। इसलिए मैंने अपने लिए उसका उपचार निर्धारित किया, आवश्यक उच्च रक्तचाप से छुटकारा पाने के लिए, उसे अन्य लोगों की बीमारियों का इलाज करना चाहिए, उन पर हाथ या पैर रखना चाहिए। अब मैं अक्सर मरीजों को उनके पास भेजता हूं और वह सफलतापूर्वक उनका इलाज करती हैं मानसिक मार्ग. वह अपने हाथ की गर्मी को कमर तक के रोगों तक, कमर के नीचे के रोगों तक निर्देशित करता है, रोगी के ऊपर लेटने की स्थिति में, वह समस्या क्षेत्र में क्रमशः दाएं या बाएं पैर को पकड़ता है।
वह और मरीज़ दोनों परिणामों से संतुष्ट हैं। अब दो साल से उसने एस्पिरिन या पेंटालगिन नहीं ली है, और पेंडुलम कभी-कभी उसे मामूली सिरदर्द के लिए विलो या क्विंस पत्तियों का काढ़ा पीने की अनुमति देता है।
किसे उसकी मदद की जरूरत है, मुझे लिखें, वह मामूली शुल्क पर आपकी मदद करेगी। मैंने उसे यह भी सिखाया कि दूर-दूर के लोगों के साथ गैर-संपर्क तरीके से कैसे व्यवहार किया जाए।
एक व्यक्ति जो वास्तव में पेंडुलम के संचालन के दौरान पेंडुलम के साथ काम करता है, उसे इसके साथ समकालिक संचार में रहना चाहिए और उसे पहले से पता होना चाहिए और महसूस करना चाहिए कि इस समय पेंडुलम की क्रियाएं किस दिशा में निर्देशित हैं। अपने मस्तिष्क की ऊर्जावान शक्ति के साथ, पेंडुलम के धागे को पकड़ने वाले व्यक्ति को इस वस्तु पर आगे की कार्रवाई में अनुमान के बजाय अवचेतन रूप से मदद करनी चाहिए, और एक दर्शक के रूप में पेंडुलम की कार्रवाई को उदासीनता से नहीं देखना चाहिए।
मेसोपोटामिया, असीरिया, उरारतु, भारत, चीन, जापान, प्राचीन रोम, मिस्र, ग्रीस, एशिया, अफ्रीका, अमेरिका, यूरोप, पूर्व और दुनिया भर के कई देशों में लगभग सभी प्रसिद्ध लोगों द्वारा पेंडुलम का उपयोग किया जाता था और अब भी किया जाता है।
इस तथ्य के कारण कि कई प्रमुख अंतरराष्ट्रीय संस्थानों, विज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों की प्रमुख हस्तियों ने अभी तक सहजीवी और सामंजस्यपूर्ण रूप से आसपास की प्रकृति के साथ मानवता के सह-अस्तित्व के पक्ष में पेंडुलम की कार्रवाई और उद्देश्य की पर्याप्त सराहना नहीं की है। मानवता ने अभी तक आधुनिक प्राकृतिक विज्ञान के स्तर पर सार्वभौमिक सामान्य के ब्रह्मांड पर छद्म वैज्ञानिक विचारों को पूरी तरह से नहीं छोड़ा है। धर्म, गूढ़ विद्या और प्राकृतिक विज्ञान के बीच ज्ञान की रेखा धुंधली होने का चरण चल रहा है। स्वाभाविक रूप से, प्राकृतिक विज्ञान को बिना किसी पक्षपात के सभी मौलिक विज्ञानों का आधार बनना चाहिए।
आशा है कि सूचना विज्ञान के साथ-साथ पेंडुलम का विज्ञान भी लोगों के जीवन में अपना उचित स्थान लेगा। आख़िरकार, एक समय था जब हमारे बहुराष्ट्रीय देश के नेताओं ने साइबरनेटिक्स को छद्म विज्ञान घोषित कर दिया था और इसे न केवल अध्ययन करने की अनुमति दी थी, बल्कि शैक्षणिक संस्थानों में भी इसका अध्ययन करने की अनुमति नहीं दी थी।
तो अब, आधुनिक विज्ञान के उच्चतम स्तर के स्तर पर, वे पेंडुलम के विचार को ऐसे देखते हैं जैसे कि यह एक पिछड़ा हुआ उद्योग हो। कंप्यूटर विज्ञान के एक अनुभाग के तहत पेंडुलम, डाउजिंग और फ्रेम को व्यवस्थित करना आवश्यक है, और एक कंप्यूटर प्रोग्राम मॉड्यूल बनाना आवश्यक है।
इस मॉड्यूल की मदद से, कोई भी लापता चीजों को ढूंढ सकता है, वस्तुओं का स्थान निर्धारित कर सकता है और अंत में, लोगों, जानवरों, पक्षियों, कीड़ों और सामान्य रूप से पूरी प्रकृति का निदान कर सकता है।
ऐसा करने के लिए, आपको बहुआयामी चिकित्सा के बारे में एल. जी. पुचको के विचारों और मानसिक गेलर के काम के साथ-साथ बल्गेरियाई चिकित्सक कनालिएव के विचारों और कई अन्य लोगों के काम का अध्ययन करने की आवश्यकता है जिन्होंने मदद से आश्चर्यजनक परिणाम प्राप्त किए हैं। एक पेंडुलम.

गणितीय पेंडुलमनिलंबन से जुड़े और गुरुत्वाकर्षण (या अन्य बल) के क्षेत्र में स्थित एक भारहीन और अविस्तारित धागे पर निलंबित एक भौतिक बिंदु को कॉल करें।

आइए हम संदर्भ के एक जड़त्वीय फ्रेम में गणितीय पेंडुलम के दोलनों का अध्ययन करें, जिसके सापेक्ष इसके निलंबन का बिंदु आराम पर है या एक सीधी रेखा में समान रूप से चलता है। हम वायु प्रतिरोध के बल (आदर्श गणितीय पेंडुलम) की उपेक्षा करेंगे। प्रारंभ में, पेंडुलम संतुलन स्थिति सी में आराम पर है। इस मामले में, गुरुत्वाकर्षण बल और उस पर कार्य करने वाले धागे के लोचदार बल F?ynp को पारस्परिक रूप से मुआवजा दिया जाता है।

आइए पेंडुलम को संतुलन स्थिति से हटा दें (इसे विक्षेपित करके, उदाहरण के लिए, स्थिति ए में) और इसे प्रारंभिक गति के बिना छोड़ दें (चित्र 1)। इस मामले में, बल एक दूसरे को संतुलित नहीं करते हैं। गुरुत्वाकर्षण का स्पर्शरेखा घटक, पेंडुलम पर कार्य करते हुए, इसे स्पर्शरेखा त्वरण a देता है?? (गणितीय पेंडुलम के प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखा के साथ निर्देशित कुल त्वरण का घटक), और पेंडुलम बढ़ती गति के साथ संतुलन स्थिति की ओर बढ़ना शुरू कर देता है। इस प्रकार गुरुत्वाकर्षण का स्पर्शरेखीय घटक एक पुनर्स्थापना बल है। गुरुत्वाकर्षण का सामान्य घटक लोचदार बल के विरुद्ध धागे के साथ निर्देशित होता है। बलों का परिणाम पेंडुलम को सामान्य त्वरण देता है, जिससे वेग वेक्टर की दिशा बदल जाती है, और पेंडुलम चाप एबीसीडी के साथ चलता है।

पेंडुलम संतुलन स्थिति C के जितना करीब आता है, स्पर्शरेखीय घटक का मान उतना ही छोटा हो जाता है। संतुलन की स्थिति में, यह शून्य के बराबर है, और गति अपने अधिकतम मूल्य तक पहुंच जाती है, और पेंडुलम जड़ता से आगे बढ़ता है, ऊपर की ओर बढ़ता है। इस मामले में, घटक को गति के विरुद्ध निर्देशित किया जाता है। विक्षेपण कोण a में वृद्धि के साथ, बल मापांक बढ़ता है, और वेग मापांक घटता है, और बिंदु D पर पेंडुलम की गति शून्य हो जाती है। पेंडुलम एक पल के लिए रुकता है और फिर संतुलन की स्थिति के विपरीत दिशा में चलना शुरू कर देता है। इसे फिर से जड़ता से पारित करने के बाद, पेंडुलम, अपनी गति को धीमा करते हुए, बिंदु ए (कोई घर्षण नहीं है) तक पहुंच जाएगा, यानी। पूरा स्विंग पूरा करेंगे. इसके बाद, पेंडुलम की गति पहले से वर्णित क्रम में दोहराई जाएगी।

आइए हम गणितीय पेंडुलम के मुक्त दोलनों का वर्णन करने वाला एक समीकरण प्राप्त करें।

मान लीजिए कि किसी निश्चित समय पर पेंडुलम बिंदु बी पर है। इस समय संतुलन स्थिति से इसका विस्थापन एस चाप एसवी की लंबाई के बराबर है (यानी एस = |एसवी|)। आइए हम निलंबन धागे की लंबाई को l और पेंडुलम के द्रव्यमान को m के रूप में निरूपित करें।

चित्र 1 से यह स्पष्ट है कि, कहाँ। इसलिए, छोटे कोणों पर () पेंडुलम विक्षेपित होता है

इस सूत्र में ऋण चिह्न इसलिए रखा गया है क्योंकि गुरुत्वाकर्षण का स्पर्शरेखीय घटक संतुलन स्थिति की ओर निर्देशित होता है, और विस्थापन की गणना संतुलन स्थिति से की जाती है।

न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार. आइए हम इस समीकरण की वेक्टर मात्राओं को गणितीय पेंडुलम के प्रक्षेपवक्र की स्पर्शरेखा की दिशा पर प्रक्षेपित करें

इन समीकरणों से हमें प्राप्त होता है

गणितीय लोलक की गति का गतिशील समीकरण। गणितीय लोलक का स्पर्शरेखा त्वरण उसके विस्थापन के समानुपाती होता है और संतुलन स्थिति की ओर निर्देशित होता है। इस समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है

इसकी तुलना हार्मोनिक कंपन समीकरण से करें , हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि गणितीय पेंडुलम हार्मोनिक दोलन करता है। और चूँकि पेंडुलम के सुविचारित दोलन केवल आंतरिक शक्तियों के प्रभाव में हुए, ये पेंडुलम के मुक्त दोलन थे। नतीजतन, छोटे विचलन वाले गणितीय पेंडुलम के मुक्त दोलन हार्मोनिक होते हैं।

चलो निरूपित करें

पेंडुलम दोलनों की चक्रीय आवृत्ति।

पेंडुलम के दोलन की अवधि. इस तरह,

इस अभिव्यक्ति को ह्यूजेन्स सूत्र कहा जाता है। यह गणितीय पेंडुलम के मुक्त दोलन की अवधि निर्धारित करता है। सूत्र से यह पता चलता है कि संतुलन स्थिति से विचलन के छोटे कोणों पर, गणितीय पेंडुलम के दोलन की अवधि है:

1. इसके द्रव्यमान और कंपन आयाम पर निर्भर नहीं है;
2. पेंडुलम की लंबाई के वर्गमूल के समानुपाती और गुरुत्वाकर्षण के त्वरण के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

यह गणितीय पेंडुलम के छोटे दोलनों के प्रायोगिक नियमों के अनुरूप है, जिनकी खोज जी. गैलीलियो ने की थी।

हम इस बात पर जोर देते हैं कि यदि दो शर्तें एक साथ पूरी होती हैं तो इस सूत्र का उपयोग अवधि की गणना करने के लिए किया जा सकता है:

1. पेंडुलम का दोलन छोटा होना चाहिए;
2. पेंडुलम का निलंबन बिंदु आराम की स्थिति में होना चाहिए या संदर्भ के जड़त्वीय फ्रेम के सापेक्ष एक सीधी रेखा में समान रूप से चलना चाहिए जिसमें यह स्थित है।

यदि गणितीय पेंडुलम का निलंबन बिंदु त्वरण के साथ चलता है, तो धागे का तनाव बल बदल जाता है, जिससे पुनर्स्थापन बल में परिवर्तन होता है, और, परिणामस्वरूप, दोलनों की आवृत्ति और अवधि में परिवर्तन होता है। जैसा कि गणना से पता चलता है, इस मामले में पेंडुलम के दोलन की अवधि की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है

गैर-जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में पेंडुलम का "प्रभावी" त्वरण कहां है। यह मुक्त गिरावट के त्वरण और वेक्टर के विपरीत वेक्टर के ज्यामितीय योग के बराबर है, अर्थात। इसकी गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है

गणितीय पेंडुलमनिलंबन से जुड़े और गुरुत्वाकर्षण (या अन्य बल) के क्षेत्र में स्थित एक भारहीन और अविस्तारित धागे पर निलंबित एक भौतिक बिंदु को कॉल करें।

आइए हम संदर्भ के एक जड़त्वीय फ्रेम में गणितीय पेंडुलम के दोलनों का अध्ययन करें, जिसके सापेक्ष इसके निलंबन का बिंदु आराम पर है या एक सीधी रेखा में समान रूप से चलता है। हम वायु प्रतिरोध के बल (आदर्श गणितीय पेंडुलम) की उपेक्षा करेंगे। प्रारंभ में, पेंडुलम संतुलन स्थिति C में आराम पर है। इस मामले में, उस पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल \(\vec F\) और धागे का लोचदार बल \(\vec F_(ynp)\) परस्पर हैं मुआवजा दिया।

आइए पेंडुलम को संतुलन स्थिति से हटाएं (उदाहरण के लिए, स्थिति ए की ओर विक्षेपित करके) और इसे प्रारंभिक गति के बिना छोड़ दें (चित्र 13.11)। इस मामले में, बल \(\vec F\) और \(\vec F_(ynp)\) एक दूसरे को संतुलित नहीं करते हैं। गुरुत्वाकर्षण का स्पर्शरेखा घटक \(\vec F_\tau\), पेंडुलम पर कार्य करते हुए, इसे स्पर्शरेखा त्वरण \(\vec a_\tau\) देता है (गणितीय पेंडुलम के प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखा के साथ निर्देशित कुल त्वरण का घटक) ), और पेंडुलम निरपेक्ष मान में वृद्धि की गति के साथ संतुलन की स्थिति में जाना शुरू कर देता है। गुरुत्वाकर्षण का स्पर्शरेखीय घटक \(\vec F_\tau\) इस प्रकार एक पुनर्स्थापना बल है। गुरुत्वाकर्षण बल का सामान्य घटक \(\vec F_n\) लोचदार बल \(\vec F_(ynp)\) के विरुद्ध धागे के अनुदिश निर्देशित होता है। बलों \(\vec F_n\) और \(\vec F_(ynp)\) का परिणाम पेंडुलम को सामान्य त्वरण \(~a_n\) प्रदान करता है, जिससे वेग वेक्टर की दिशा बदल जाती है, और पेंडुलम चलता है एक चाप के साथ ए बी सी डी।

पेंडुलम संतुलन स्थिति C के जितना करीब आता है, स्पर्शरेखीय घटक \(~F_\tau = F \sin \alpha\) का मान उतना ही छोटा हो जाता है। संतुलन की स्थिति में, यह शून्य के बराबर है, और गति अपने अधिकतम मूल्य तक पहुंच जाती है, और पेंडुलम जड़ता से आगे बढ़ता है, ऊपर की ओर बढ़ता है। इस मामले में, घटक \(\vec F_\tau\) को गति के विरुद्ध निर्देशित किया जाता है। विक्षेपण कोण a में वृद्धि के साथ, बल मापांक \(\vec F_\tau\) बढ़ता है, और वेग मापांक घटता है, और बिंदु D पर पेंडुलम की गति शून्य के बराबर हो जाती है। पेंडुलम एक पल के लिए रुकता है और फिर संतुलन की स्थिति के विपरीत दिशा में चलना शुरू कर देता है। इसे फिर से जड़ता से पारित करने के बाद, पेंडुलम, अपनी गति को धीमा करते हुए, बिंदु ए (कोई घर्षण नहीं है) तक पहुंच जाएगा, यानी। पूरा स्विंग पूरा करेंगे. इसके बाद, पेंडुलम की गति पहले से वर्णित क्रम में दोहराई जाएगी।

आइए हम गणितीय पेंडुलम के मुक्त दोलनों का वर्णन करने वाला एक समीकरण प्राप्त करें।

मान लीजिए कि किसी निश्चित समय पर पेंडुलम बिंदु बी पर है। इस समय संतुलन स्थिति से इसका विस्थापन एस चाप एसवी की लंबाई के बराबर है (यानी एस = |एसवी|)। आइए हम निलंबन धागे की लंबाई को निरूपित करें एल, और पेंडुलम का द्रव्यमान है एम.

चित्र 13.11 से यह स्पष्ट है कि \(~F_\tau = F \sin \alpha\), जहां \(\alpha =\frac(S)(l).\) छोटे कोणों पर \(~(\alpha<10^\circ)\) отклонения маятника \(\sin \alpha \approx \alpha,\) поэтому

\(F_\tau = -F\frac(S)(l) = -mg\frac(S)(l).\)

इस सूत्र में ऋण चिह्न इसलिए रखा गया है क्योंकि गुरुत्वाकर्षण का स्पर्शरेखीय घटक संतुलन स्थिति की ओर निर्देशित होता है, और विस्थापन की गणना संतुलन स्थिति से की जाती है।

न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार \(m \vec a = m \vec g + F_(ynp).\) आइए इस समीकरण की वेक्टर मात्राओं को गणितीय पेंडुलम के प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखा की दिशा पर प्रक्षेपित करें

\(~F_\tau = ma_\tau .\)

इन समीकरणों से हमें प्राप्त होता है

\(a_\tau = -\frac(g)(l)S\) - गणितीय पेंडुलम की गति का गतिशील समीकरण। गणितीय लोलक का स्पर्शरेखा त्वरण उसके विस्थापन के समानुपाती होता है और संतुलन स्थिति की ओर निर्देशित होता है। इस समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है। इसकी तुलना हार्मोनिक दोलनों के समीकरण \(~a_x + \omega^2x = 0\) (§ 13.3 देखें) से करने पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि गणितीय पेंडुलम हार्मोनिक दोलन करता है। और चूँकि पेंडुलम के सुविचारित दोलन केवल आंतरिक शक्तियों के प्रभाव में हुए, ये पेंडुलम के मुक्त दोलन थे। इस तरह, छोटे विचलन वाले गणितीय पेंडुलम के मुक्त दोलन हार्मोनिक होते हैं।

आइए हम \(\frac(g)(l) = \omega^2.\) को निरूपित करें जहां से \(\omega = \sqrt \frac(g)(l)\) पेंडुलम की चक्रीय आवृत्ति है।

पेंडुलम के दोलन की अवधि \(T = \frac(2 \pi)(\omega).\) है इसलिए,

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g) )\)

इस अभिव्यक्ति को कहा जाता है ह्यूजेन्स का सूत्र.यह गणितीय पेंडुलम के मुक्त दोलन की अवधि निर्धारित करता है। सूत्र से यह निष्कर्ष निकलता है कि संतुलन स्थिति से विचलन के छोटे कोणों पर, गणितीय पेंडुलम के दोलन की अवधि: 1) इसके द्रव्यमान और दोलनों के आयाम पर निर्भर नहीं करती है; 2) पेंडुलम की लंबाई के वर्गमूल के समानुपाती और गुरुत्वाकर्षण के त्वरण के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती। यह गणितीय पेंडुलम के छोटे दोलनों के प्रायोगिक नियमों के अनुरूप है, जिनकी खोज जी. गैलीलियो ने की थी।

हम इस बात पर जोर देते हैं कि इस सूत्र का उपयोग अवधि की गणना करने के लिए किया जा सकता है यदि दो शर्तें एक साथ पूरी होती हैं: 1) पेंडुलम दोलन छोटा होना चाहिए; 2) पेंडुलम का निलंबन बिंदु आराम की स्थिति में होना चाहिए या जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम के सापेक्ष एक सीधी रेखा में समान रूप से चलना चाहिए जिसमें यह स्थित है।

यदि गणितीय पेंडुलम का निलंबन बिंदु त्वरण \(\vec a\) के साथ चलता है, तो धागे का तनाव बल बदल जाता है, जिससे पुनर्स्थापन बल में परिवर्तन होता है, और, परिणामस्वरूप, दोलनों की आवृत्ति और अवधि में परिवर्तन होता है। जैसा कि गणना से पता चलता है, इस मामले में पेंडुलम के दोलन की अवधि की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g") )\)

जहां \(~g"\) एक गैर-जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में पेंडुलम का "प्रभावी" त्वरण है। यह गुरुत्वाकर्षण के त्वरण \(\vec g\) और इसके विपरीत वेक्टर के ज्यामितीय योग के बराबर है वेक्टर \(\vec a\), यानी इसकी गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है

\(\vec g" = \vec g + (- \vec a).\)

साहित्य

अक्सेनोविच एल.ए. माध्यमिक विद्यालय में भौतिकी: सिद्धांत। कार्य. टेस्ट: पाठ्यपुस्तक। सामान्य शिक्षा प्रदान करने वाले संस्थानों के लिए भत्ता। पर्यावरण, शिक्षा / एल. ए. अक्सेनोविच, एन. एन. राकिना, के. एस. फ़ारिनो; ईडी। के.एस. फ़ारिनो। - एमएन.: एडुकात्सिया आई व्यवहार्ने, 2004. - पी. 374-376।

गणितीय पेंडुलम.

एक गणितीय पेंडुलम एक भौतिक बिंदु है जो एक अविभाज्य भारहीन धागे पर लटका हुआ है, जो गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव के तहत एक ऊर्ध्वाधर विमान में दोलन गति करता है।

ऐसे पेंडुलम को m द्रव्यमान की एक भारी गेंद माना जा सकता है, जो एक पतले धागे पर लटकी हुई है, जिसकी लंबाई l गेंद के आकार से बहुत अधिक है। यदि इसे ऊर्ध्वाधर रेखा से कोण α (चित्र 7.3.) द्वारा विक्षेपित किया जाता है, तो भार P के घटकों में से एक, बल F के प्रभाव में, यह दोलन करेगा। धागे के साथ निर्देशित अन्य घटक को ध्यान में नहीं रखा जाता है, क्योंकि धागे के तनाव से संतुलित होता है। छोटे विस्थापन कोणों पर और, फिर x निर्देशांक को क्षैतिज दिशा में मापा जा सकता है। चित्र 7.3 से यह स्पष्ट है कि धागे के लंबवत भार घटक के बराबर है

बिंदु O: के सापेक्ष बल का क्षण और जड़ता का क्षण:
एम=एफएल .
निष्क्रियता के पल जेइस मामले में
कोणीय त्वरण:

इन मूल्यों को ध्यान में रखते हुए, हमारे पास है:

(7.8)

उसका निर्णय
,

जैसा कि हम देख सकते हैं, एक गणितीय पेंडुलम के दोलन की अवधि उसकी लंबाई और गुरुत्वाकर्षण के त्वरण पर निर्भर करती है और दोलनों के आयाम पर निर्भर नहीं करती है।

भौतिक पेंडुलम.

भौतिक पेंडुलम एक कठोर पिंड है जो एक निश्चित क्षैतिज अक्ष (निलंबन अक्ष) पर स्थिर होता है जो गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से नहीं गुजरता है, और जो गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में इस अक्ष के चारों ओर दोलन करता है। गणितीय पेंडुलम के विपरीत, ऐसे पिंड के द्रव्यमान को बिंदु के समान नहीं माना जा सकता है।

छोटे विक्षेपण कोण α (चित्र 7.4) पर, भौतिक पेंडुलम हार्मोनिक दोलन भी करता है। हम मान लेंगे कि भौतिक पेंडुलम का भार बिंदु C पर उसके गुरुत्वाकर्षण के केंद्र पर लागू होता है। इस मामले में, वह बल जो पेंडुलम को संतुलन स्थिति में लौटाता है, गुरुत्वाकर्षण का घटक होगा - बल F।

दाहिनी ओर ऋण चिह्न का अर्थ है कि बल F घटते कोण α की ओर निर्देशित है। कोण α की लघुता को ध्यान में रखते हुए

गणितीय और भौतिक पेंडुलम की गति के नियम को प्राप्त करने के लिए, हम घूर्णी गति की गतिशीलता के मूल समीकरण का उपयोग करते हैं

बल का क्षण: स्पष्ट रूप से निर्धारित नहीं किया जा सकता। भौतिक पेंडुलम के दोलनों के मूल अंतर समीकरण में शामिल सभी मात्राओं को ध्यान में रखते हुए यह रूप मिलता है: