ما هي القوى المؤثرة على البندول؟ البندول الرياضي: الدورة والتسارع والصيغ. تطبيق عملي للبندول الرياضي

النظام الميكانيكي الذي يتكون من نقطة مادية (جسم) معلقة على خيط عديم الوزن غير قابل للتمدد (كتلته لا تذكر مقارنة بوزن الجسم) في مجال جاذبية منتظم يسمى البندول الرياضي (اسم آخر هو المذبذب). وهناك أنواع أخرى من هذا الجهاز. بدلا من الخيط، يمكنك استخدام قضيب انعدام الوزن. يمكن للبندول الرياضي أن يكشف بوضوح عن جوهر العديد من الظواهر المثيرة للاهتمام. عندما تكون سعة الاهتزاز صغيرة، تسمى حركتها توافقية.

نظرة عامة على النظام الميكانيكي

تم اشتقاق صيغة فترة تذبذب هذا البندول من قبل العالم الهولندي هيغنز (1629-1695). كان هذا المعاصر لـ I. Newton مهتمًا جدًا بهذا النظام الميكانيكي. في عام 1656، ابتكر أول ساعة بآلية البندول. لقد قاموا بقياس الوقت بدقة استثنائية لتلك الأوقات. أصبح هذا الاختراع مرحلة رئيسية في تطوير التجارب الفيزيائية والأنشطة العملية.

إذا كان البندول في وضع التوازن (معلقًا رأسيًا)، فسيتم توازنه بواسطة قوة شد الخيط. البندول المسطح على خيط غير قابل للتمدد هو نظام ذو درجتين من الحرية مع اقتران. عندما تقوم بتغيير مكون واحد فقط، تتغير خصائص جميع أجزائه. لذلك، إذا تم استبدال الخيط بقضيب، فسيكون لهذا النظام الميكانيكي درجة واحدة فقط من الحرية. ما هي خصائص البندول الرياضي؟ في هذا النظام الأبسط، تنشأ الفوضى تحت تأثير الاضطرابات الدورية. في حالة عدم تحرك نقطة التعليق، ولكنها تتأرجح، يكون للبندول موضع توازن جديد. ومع التذبذبات السريعة لأعلى ولأسفل، يكتسب هذا النظام الميكانيكي وضعية مستقرة "مقلوبة". كما أن لها اسمها الخاص. ويسمى بندول كابيتسا.

خصائص البندول

البندول الرياضي له خصائص مثيرة للاهتمام للغاية. يتم تأكيد كل منهم من خلال القوانين الفيزيائية المعروفة. وتعتمد فترة اهتزاز أي بندول آخر على ظروف مختلفة، مثل حجم الجسم وشكله، والمسافة بين نقطة التعليق ومركز الثقل، وتوزيع الكتلة بالنسبة لهذه النقطة. هذا هو السبب في أن تحديد فترة تعليق الجسد مهمة صعبة للغاية. من الأسهل بكثير حساب فترة البندول الرياضي، والتي سيتم عرض صيغتها أدناه. ونتيجة لملاحظات الأنظمة الميكانيكية المماثلة، يمكن إنشاء الأنماط التالية:

إذا، مع الحفاظ على نفس طول البندول، قمنا بتعليق أوزان مختلفة، فإن فترة تذبذباتها ستكون هي نفسها، على الرغم من أن كتلتها ستختلف بشكل كبير. وبالتالي، فإن فترة مثل هذا البندول لا تعتمد على كتلة الحمل.

إذا، عند بدء تشغيل النظام، ينحرف البندول بزوايا ليست كبيرة جدًا، ولكن بزوايا مختلفة، فسيبدأ في التأرجح بنفس الفترة، ولكن بسعات مختلفة. طالما أن الانحرافات عن مركز التوازن ليست كبيرة جدًا، فإن الاهتزازات في شكلها ستكون قريبة جدًا من الاهتزازات التوافقية. لا تعتمد فترة هذا البندول بأي شكل من الأشكال على سعة التذبذب. تسمى هذه الخاصية لنظام ميكانيكي معين بالتزامن الزمني (مترجمة من اليونانية "chronos" - الوقت، "isos" - يساوي).

فترة البندول الرياضي

يمثل هذا المؤشر الفترة. على الرغم من صياغته المعقدة، إلا أن العملية نفسها بسيطة للغاية. إذا كان طول خيط البندول الرياضي L، وتسارع السقوط الحر هو g، فإن هذه القيمة تساوي:

لا تعتمد فترة التذبذبات الطبيعية الصغيرة بأي شكل من الأشكال على كتلة البندول وسعة التذبذبات. في هذه الحالة، يتحرك البندول كحركة رياضية بطول معين.

تذبذبات البندول الرياضي

يتأرجح البندول الرياضي، والذي يمكن وصفه بمعادلة تفاضلية بسيطة:

س + ω2 الخطيئة س = 0،

حيث x (t) دالة غير معروفة (هذه هي زاوية الانحراف عن موضع التوازن الأدنى عند اللحظة t، معبرًا عنها بالراديان)؛ ω هو ثابت إيجابي، يتم تحديده من معلمات البندول (ω = √g/L، حيث g هو تسارع الجاذبية، وL هو طول البندول الرياضي (التعليق).

تبدو معادلة الاهتزازات الصغيرة بالقرب من موضع التوازن (المعادلة التوافقية) كما يلي:

س + ω2 خطيئة س = 0

الحركات التذبذبية للبندول

يتحرك البندول الرياضي، الذي يُحدث اهتزازات صغيرة، على طول الشكل الجيبي. تلبي المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية جميع متطلبات ومعايير مثل هذه الحركة. لتحديد المسار، من الضروري ضبط السرعة والتنسيق، ومن ثم يتم تحديد الثوابت المستقلة:

س = خطيئة (θ 0 + ωt)،

حيث θ 0 هي المرحلة الأولية، A هي سعة التذبذب، ω هو التردد الدوري المحدد من معادلة الحركة.

البندول الرياضي (صيغ للسعات الكبيرة)

يخضع هذا النظام الميكانيكي، الذي يتأرجح بسعة كبيرة، لقوانين حركة أكثر تعقيدًا. لمثل هذا البندول يتم حسابها وفقا للصيغة:

الخطيئة x/2 = u * sn(ωt/u),

حيث sn هو جيب جاكوبي، والذي بالنسبة لك< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

ش = (ε + ω2)/2ω2،

حيث ε = E/mL2 (mL2 هي طاقة البندول).

يتم تحديد فترة تذبذب البندول غير الخطي باستخدام الصيغة:

حيث Ω = π/2 * ω/2K(u)، K هو التكامل الإهليلجي، π - 3,14.

حركة البندول على طول الفاصل

الفاصل هو مسار النظام الديناميكي الذي يحتوي على مساحة طور ثنائية الأبعاد. يتحرك البندول الرياضي على طوله بشكل غير دوري. وفي لحظة زمنية لا متناهية، يهبط من أعلى موضع له إلى الجانب بسرعة صفر، ثم يكتسبه تدريجيًا. ويتوقف في النهاية، ويعود إلى موضعه الأصلي.

إذا كانت سعة اهتزازات البندول تقترب من الرقم π فهذا يشير إلى أن الحركة على مستوى الطور تقترب من الفاصل. في هذه الحالة، تحت تأثير قوة دورية دافعة صغيرة، يُظهر النظام الميكانيكي سلوكًا فوضويًا.

عندما ينحرف البندول الرياضي عن موضع التوازن بزاوية معينة φ، تنشأ قوة عرضية للجاذبية Fτ = -mg sin φ. تعني علامة الطرح أن هذا المكون العرضي موجه في الاتجاه المعاكس لانحراف البندول. عند الإشارة إلى x إزاحة البندول على طول قوس دائري نصف قطره L، فإن إزاحته الزاوية تساوي φ = x/L. القانون الثاني المخصص للإسقاطات والقوة سيعطي القيمة المطلوبة:

mg τ = Fτ = -mg sin x/L

وبناءً على هذه العلاقة، فمن الواضح أن هذا البندول هو نظام غير خطي، حيث أن القوة التي تميل إلى إعادته إلى موضع التوازن تتناسب دائمًا مع الإزاحة x، ولكن مع sin x/L.

فقط عندما يقوم البندول الرياضي باهتزازات صغيرة، يصبح مذبذبًا توافقيًا. بمعنى آخر، يصبح نظامًا ميكانيكيًا قادرًا على أداء التذبذبات التوافقية. هذا التقريب صالح عمليا لزوايا 15-20 درجة. اهتزازات البندول ذات السعات الكبيرة ليست توافقية.

قانون نيوتن للاهتزازات الصغيرة للبندول

إذا قام نظام ميكانيكي معين باهتزازات صغيرة، فإن قانون نيوتن الثاني سيبدو كما يلي:

ملغ τ = Fτ = -م* ز/ل* س.

وبناء على ذلك، يمكننا أن نستنتج أن البندول الرياضي يتناسب طرديا مع إزاحته بعلامة الطرح. هذا هو الشرط الذي يصبح بسببه النظام مذبذبًا توافقيًا. معامل التناسب بين الإزاحة والتسارع يساوي مربع التردد الدائري:

ω02 = جم/لتر؛ ω0 = √ جم/لتر.

تعكس هذه الصيغة التردد الطبيعي للتذبذبات الصغيرة لهذا النوع من البندول. بناء على هذا،

T = 2π/ ω0 = 2π√ جم/لتر.

الحسابات على أساس قانون الحفاظ على الطاقة

يمكن أيضًا وصف خصائص البندول باستخدام قانون الحفاظ على الطاقة. ويجب الأخذ بعين الاعتبار أن البندول في مجال الجاذبية يساوي:

E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2

الإجمالي يساوي الإمكانات الحركية أو القصوى: Epmax = Ekmsx = E

بعد كتابة قانون حفظ الطاقة، أوجد مشتقة الطرفين الأيمن والأيسر للمعادلة:

بما أن مشتقة الكميات الثابتة تساوي 0، فإن (Ep + Ek)" = 0. مشتقة المجموع تساوي مجموع المشتقات:

Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x" ​​= mg/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2* 2v*v" = mv* α،

لذلك:

Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + m α) = 0.

وبالاعتماد على الصيغة الأخيرة نجد: α = - g/L*x.

تطبيق عملي للبندول الرياضي

ويختلف التسارع باختلاف خط العرض لأن كثافة القشرة الأرضية ليست هي نفسها في جميع أنحاء الكوكب. وفي حالة وجود صخور ذات كثافة أعلى، ستكون أعلى قليلاً. غالبًا ما يستخدم تسارع البندول الرياضي في الاستكشاف الجيولوجي. يتم استخدامه للبحث عن المعادن المختلفة. ببساطة عن طريق حساب عدد تذبذبات البندول، يمكنك اكتشاف الفحم أو الخام في أحشاء الأرض. ويرجع ذلك إلى حقيقة أن مثل هذه الحفريات لها كثافة وكتلة أكبر من الصخور السائبة الأساسية.

تم استخدام البندول الرياضي من قبل علماء بارزين مثل سقراط وأرسطو وأفلاطون وبلوتارخ وأرخميدس. يعتقد الكثير منهم أن هذا النظام الميكانيكي يمكن أن يؤثر على مصير وحياة الإنسان. استخدم أرخميدس البندول الرياضي في حساباته. في الوقت الحاضر، يستخدم العديد من علماء السحر والتنجيم هذا النظام الميكانيكي لتحقيق نبوءاتهم أو البحث عن الأشخاص المفقودين.

كما استخدم عالم الفلك وعالم الطبيعة الفرنسي الشهير ك. فلاماريون بندولًا رياضيًا في أبحاثه. وادعى أنه بمساعدته تمكن من التنبؤ باكتشاف كوكب جديد وظهور نيزك تونغوسكا وأحداث مهمة أخرى. خلال الحرب العالمية الثانية، كان يعمل معهد البندول المتخصص في ألمانيا (برلين). في الوقت الحاضر، يشارك معهد ميونيخ لعلم التخاطر في أبحاث مماثلة. يطلق موظفو هذه المؤسسة على عملهم باستخدام البندول اسم "radiesthesia".

لا تصدق ذلك بالرغم من ذلك قضية.اقرأ كل هذه المقالات بعناية. وعندئذ يصبح واضحا مثل الشمس المشرقة.

مثلما لا تتمتع يد وعقل كل الناس بقوة غامضة، فإن البندول أيضًا، الموجود في أيدي كل الناس، لا يمكن أن يصبح غامضًا. وهذه القوة لا تكتسب بل تولد مع الإنسان. في عائلة واحدة، يولد أحدهم غنيا، والآخر فقيرا. لا أحد يملك القدرة على جعل الأغنياء طبيعيا فقراء أو العكس. الآن تفهم بهذا ما أردت أن أخبرك به. إذا لم تفهم، ألوم نفسك، لقد ولدت بهذه الطريقة.

ما هو البندول؟ من ما هو مصنوع؟ البندول هو أي جسم يتحرك بحرية ومرتبط بخيط. في يد المعلم، حتى القصبة البسيطة تغني مثل العندليب. أيضًا، في يد عالم الأحياء الموهوب، يُحدث البندول تأثيرات مذهلة في مجال الوجود الإنساني والوجود.

لا يحدث دائمًا أنك تحمل بندولًا معك. لذلك كان عليّ أن أجد الخاتم المفقود من إحدى العائلات، لكن البندول لم يكن معي. نظرت حولي ولفت انتباهي فلين النبيذ. من منتصف الفلين تقريبًا، قمت بعمل قطع صغير بسكين وأرفقت الخيط. البندول جاهز.
فسألته: هل ستعمل معي بأمانة؟ كان يدور بالإيجاب وبقوة في اتجاه عقارب الساعة، وكأنه يرد بمرح. أخبره عقليًا: "دعونا نجد الخاتم المفقود إذن." تحرك البندول مرة أخرى كدليل على الاتفاق. بدأت بالتجول في الفناء.

لأن زوجة الابن قالت إنها لم تدخل المنزل بعد عندما لاحظت عدم وجود خاتم في إصبعها. وقالت أيضًا إنها أرادت منذ فترة طويلة الذهاب إلى الصائغ، لأن أصابعها أصبحت أرق وبدأ الخاتم في التساقط. فجأة، في يدي، تحرك البندول قليلاً، وعاد قليلاً إلى الوراء، وصمت البندول. تقدمت للأمام، لكن البندول تحرك مرة أخرى. مشى، صمت مرة أخرى، لقد دهشت. إلى اليسار البندول صامت، وإلى الأمام صامت. إلى اليمين لا تذهب إلى أي مكان. هناك خندق صغير يتدفق هناك. وفجأة أدركت ذلك وأمسكت بالبندول مباشرة فوق الماء. بدأ البندول يدور بشكل مكثف في اتجاه عقارب الساعة. اتصلت بزوجة ابني وأظهرت لي مكان الخاتم.
وبفرحة في عينيها، بدأت بالتنقيب في الخندق وسرعان ما عثرت على الخاتم. وتبين أنها كانت تغسل يديها في خندق، وفي ذلك الوقت سقط الخاتم، لكنها لم تلاحظ. أعجب جميع الحاضرين بعمل فلين النبيذ.

ليس كل الناس يولدون عرافين أو عرافين. ليس كل العرافين أو العرافين ناجحين. يعمل عدد قليل من المتنبئين بأخطاء أصغر، لكن الكثير منهم يغشون مثل الغجر. وكذلك البندول. أما الشخص غير الكفء فيعتبرها شيئًا عديم الفائدة، حتى لو كانت مصنوعة من الذهب، فلا معنى لها. في يد سيد حقيقي، قطعة من الحجر العادي أو الجوز تفعل المعجزات.
أتذكر أنه مثل أمس. وفي أحد الاجتماعات، خلعت سترتي وخرجت لبعض الوقت. عندما عدت، شعرت أن هناك خطأ ما في قلبي. ميكانيكيا بدأ بالتنقيب في جيبه. اتضح أن شخصًا ما أخذ بندولي الفضي. صمتت ولم أخبر أحداً بما حدث.
مرت أيام عديدة، وفي أحد الأيام، جاء إلى منزلي أحد هؤلاء الأشخاص الذين جلسوا معنا في ذلك الاجتماع حيث ضاع بندولي. اعتذر بشدة وأعطاني البندول. اتضح أنه اعتقد أن كل القوة كانت في بندولي واعتقد أن هذا البندول سيعمل معه أيضًا مثل بندولي.
وعندما أدرك خطأه، عذبه ضميره طويلا وقرر أخيرا إعادة البندول إلى صاحبه. لقد قبلت اعتذاره وعالجته أيضًا بالشاي وقمت بتشخيص حالته. لقد وجدت فيه أمراضًا كثيرة بالبندول وأعدت له الأدوية المناسبة.
بعض الناس لديهم موهبة طبيعية للشفاء والعرافة. هذه الموهبة لا تظهر لسنوات. في بعض الأحيان، بالصدفة، يقابلون خبيرًا، فيُظهر له طريقه المقدر في الحياة.
في الآونة الأخيرة، جاءت امرأة في منتصف العمر للتشخيص. لا يمكنك من خلال مظهرها معرفة أنها مريضة. كانت تشتكي من دفء شديد في أطرافها، وكانت الحرارة تخرج باستمرار من راحتيها وأخمص قدميها، وكثيرًا ما كانت تشعر بآلام شديدة في رأسها في منطقة التاج. بعد أن قمت بتشخيص الحالة عن طريق النبض لأول مرة، ولاحظت زيادة في قوة الأوعية الدموية، بدأت في قياس ضغط الدم باستخدام جهاز شبه آلي. وفي نهاية المطاف، خرجت القيم عن نطاقها، سواء الانقباضي أو الانبساطي. أشاروا إلى 135 إلى 241، وتبين أن معدل ضربات القلب أقل من المعدل الطبيعي لارتفاع ضغط الدم هذا: 62 نبضة في الدقيقة. جلست أمامي امرأة تعاني من ارتفاع ضغط الدم. كما لو لم أشعر بأي إزعاج من حالة الأوعية الدموية. ارتفاع ضغط الدم الأساسي (غير المبرر) لم يضغط عليها.

لم ألاحظ أي خطأ في نبضها وأثناء تشخيص النبض أيضًا. لقد قمت بتشخيصها بأنها مصابة بارتفاع ضغط الدم الأساسي الأقل شيوعًا (سبب غير مبرر). لو كان الطبيب العادي قد قام بقياس ضغط دمها، لاتصل على الفور بسيارة إسعاف ووضعها على نقالة. ولم يسمح لها حتى بالتحرك. والحقيقة هي أن الشخص الذي يعاني من مثل هذه الزيادة في ضغط الدم يعتبر مصابًا بأزمة ارتفاع ضغط الدم. وقد يتبعها سكتة دماغية أو نوبة قلبية.
ووفقا لها، فإن الأدوية الخافضة للضغط المنتظمة تجعلها تشعر بحالة أسوأ بكثير حتى أنها تجعلها تشعر بالغثيان. بناءً على إصرار ابنها، تعلمت استخدام البندول؛ وعندما يؤلمها رأسها بشدة، تسأل البندول هل تشرب الأسبرين أو البنتالجين أم لا. وفي حالات نادرة، وبموافقة البندول، تتناول مغلي أوراق الصفصاف أو مغلي أوراق السفرجل، وهو ما أوصى به لها الطبيب محيي الدين منذ أربع سنوات. إذا كان رأسها يؤلمها بشدة، فإنها تشرب الأسبرين في الحالات الشديدة للغاية، وتأخذ البنتالجين. الأطباء وجيران مريضة ارتفاع ضغط الدم يضحكون على علاجها الذاتي.
لقد استخدمت البندول الخاص بي للتحقق من جميع الأدوية التي تتناولها لعلاج الصداع وارتفاع ضغط الدم. وتبين أن جميعها فعالة.سألت أيضا البندول. "هل ستتحسن صحتها إذا بدأت في شفاء الناس بدفئها؟"، تأرجح البندول على الفور بقوة في اتجاه عقارب الساعة، بالإيجاب. فوصفت لها العلاج لنفسها، ولكي تتخلص من ارتفاع ضغط الدم الأساسي، عليها أن تعالج أمراض الآخرين، بوضع يديها أو قدميها عليهم. الآن أقوم بتحويل المرضى إليها كثيرًا وهي تعالجهم بنجاح يمر نفسية. يوجه دفء يده للأمراض حتى الخصر، للأمراض الموجودة أسفل الخصر، في وضعية الاستلقاء فوق المريض، يحمل الساق اليمنى أو اليسرى، على التوالي، في منطقة المشكلة.
وهي والمرضى راضون عن النتائج. منذ عامين لم تتناول الأسبرين أو البنتالجين، ويسمح لها البندول أحيانًا بشرب مغلي أوراق الصفصاف أو السفرجل لعلاج الصداع البسيط.
من يحتاج مساعدتها يكتب لي، سوف تساعدك مقابل أجر زهيد. حتى أنني علمتها كيفية التعامل مع الأشخاص على مسافات بعيدة دون الاتصال.
يجب على الشخص الذي يعمل حقًا مع البندول أثناء تشغيل البندول أن يكون على اتصال متزامن معه ويجب أن يعرف ويشعر مقدمًا في أي اتجاه يتم توجيه تصرفات البندول في الوقت الحالي. من خلال قوة دماغه النشطة، يجب على الشخص الذي يمسك بخيط البندول أن يساعده دون وعي، وليس بشكل تأملي، في إجراءات أخرى بشأن هذا الكائن، ولا ينظر بلا مبالاة إلى عمل البندول كمتفرج.
كان البندول ولا يزال يستخدمه جميع المشاهير تقريبًا في بلاد ما بين النهرين وآشور وأورارتو والهند والصين واليابان وروما القديمة ومصر واليونان وآسيا وأفريقيا وأمريكا وأوروبا والشرق والعديد من البلدان حول العالم.
نظرًا لحقيقة أن العديد من المؤسسات الدولية البارزة والشخصيات البارزة في مختلف مجالات العلوم لم تقدر بعد بشكل كافٍ عمل البندول والغرض منه لصالح تعايش البشرية مع الطبيعة المحيطة بشكل تكافلي ومتناغم. لم تتخل الإنسانية تمامًا بعد عن وجهات النظر العلمية الزائفة حول الكون الطبيعي العالمي على مستوى العلوم الطبيعية الحديثة. هناك مرحلة طمس الخط المعرفي بين الدين والباطنية والعلوم الطبيعية. وبطبيعة الحال، ينبغي أن تصبح العلوم الطبيعية أساس جميع العلوم الأساسية دون أي آراء جانبية.
وهناك أمل في أن يأخذ علم البندول أيضًا مكانه الصحيح في حياة الناس، إلى جانب علم المعلومات. بعد كل شيء، كان هناك وقت أعلن فيه قادة بلدنا المتعدد الجنسيات أن علم التحكم الآلي علم زائف ولم يسمحوا بدراسته فحسب، بل حتى دراسته في المؤسسات التعليمية.
والآن، وعلى مستوى أعلى مراتب العلم الحديث، ينظرون إلى فكرة البندول وكأنها صناعة متخلفة. من الضروري تنظيم البندول والتغطيس والإطار تحت قسم واحد من علوم الكمبيوتر، ومن الضروري إنشاء وحدة برنامج كمبيوتر.
بمساعدة هذه الوحدة، يمكن لأي شخص العثور على الأشياء المفقودة، وتحديد موقع الأشياء، وأخيرًا تشخيص الأشخاص والحيوانات والطيور والحشرات والطبيعة بأكملها بشكل عام.
للقيام بذلك، تحتاج إلى دراسة أفكار L. G. Puchko حول الطب متعدد الأبعاد وعمل نفسية جيلر، وكذلك أفكار المعالج البلغاري Kanaliev وعمل العديد من الأشخاص الآخرين الذين حققوا نتائج مذهلة بمساعدة بندول.

البندول الرياضينسمي نقطة مادية معلقة على خيط عديم الوزن وغير قابل للتمدد متصل بالتعليق وتقع في مجال الجاذبية (أو أي قوة أخرى).

دعونا ندرس اهتزازات البندول الرياضي في إطار مرجعي بالقصور الذاتي، بالنسبة إلى نقطة تعليقه في حالة سكون أو تتحرك بشكل منتظم في خط مستقيم. سنهمل قوة مقاومة الهواء (البندول الرياضي المثالي). في البداية، يكون البندول في حالة سكون في وضع التوازن C. وفي هذه الحالة، يتم تعويض قوة الجاذبية والقوة المرنة للخيط المؤثر عليه بشكل متبادل.

لنقم بإزالة البندول من موضع التوازن (عن طريق انحرافه، على سبيل المثال، إلى الموضع A) وتحريره بدون سرعة أولية (الشكل 1). في هذه الحالة، القوى لا تتوازن مع بعضها البعض. إن المكون العرضي للجاذبية، الذي يؤثر على البندول، يمنحه تسارعًا عرضيًا؟؟ (مكون من التسارع الكلي الموجه على طول المماس لمسار البندول الرياضي)، ويبدأ البندول في التحرك نحو موضع التوازن بسرعة متزايدة. وبالتالي فإن المكون العرضي للجاذبية هو قوة استعادة. يتم توجيه المكون الطبيعي للجاذبية على طول الخيط ضد القوة المرنة. محصلة القوى تعطي البندول تسارعًا طبيعيًا، مما يغير اتجاه ناقل السرعة، ويتحرك البندول على طول القوس ABCD.

كلما اقترب البندول من موضع التوازن C، أصبحت قيمة المكون العرضي أصغر. وفي وضع التوازن تساوي الصفر، وتصل السرعة إلى قيمتها القصوى، ويتحرك البندول أكثر بالقصور الذاتي، فيرتفع إلى أعلى على شكل قوس. في هذه الحالة، يتم توجيه المكون ضد السرعة. ومع زيادة زاوية الانحراف أ، يزداد معامل القوة، ويقل معامل السرعة، وعند النقطة د تصبح سرعة البندول صفراً. يتوقف البندول للحظة ثم يبدأ بالتحرك في الاتجاه المعاكس لوضعية التوازن. بعد اجتيازه مرة أخرى بالقصور الذاتي ، سيصل البندول ، الذي يتباطأ حركته ، إلى النقطة أ (لا يوجد احتكاك) ، أي. سوف يكمل التأرجح الكامل. بعد ذلك، سيتم تكرار حركة البندول بالتسلسل الموصوف بالفعل.

دعونا نحصل على معادلة تصف التذبذبات الحرة للبندول الرياضي.

دع البندول في لحظة زمنية معينة يكون عند النقطة B. إزاحته S من موضع التوازن في هذه اللحظة تساوي طول القوس SV (أي S = |SV|). دعونا نشير إلى طول خيط التعليق بالرمز l، وكتلة البندول بالرمز m.

من الشكل 1 يتضح أين . في زوايا صغيرة () ينحرف البندول

يتم وضع علامة الطرح في هذه الصيغة لأن المركبة العرضية للجاذبية موجهة نحو موضع التوازن، ويتم حساب الإزاحة من موضع التوازن.

وفقا لقانون نيوتن الثاني. دعونا نسقط الكميات المتجهة لهذه المعادلة على اتجاه المماس لمسار البندول الرياضي

من هذه المعادلات نحصل عليها

المعادلة الديناميكية لحركة البندول الرياضي. يتناسب التسارع العرضي للبندول الرياضي مع إزاحته ويتجه نحو موضع التوازن. يمكن كتابة هذه المعادلة بالشكل

مقارنتها بمعادلة الاهتزاز التوافقي يمكننا أن نستنتج أن البندول الرياضي يحدث اهتزازات توافقية. وبما أن تذبذبات البندول المدروسة حدثت تحت تأثير القوى الداخلية فقط، فقد كانت هذه تذبذبات حرة للبندول. وبالتالي، فإن التذبذبات الحرة للبندول الرياضي مع انحرافات صغيرة تكون توافقية.

دعونا نشير

التردد الدوري لتذبذبات البندول.

فترة تذبذب البندول. لذلك،

هذا التعبير يسمى صيغة هيغنز. يحدد فترة التذبذبات الحرة للبندول الرياضي. يترتب على الصيغة أنه عند زوايا انحراف صغيرة عن موضع التوازن، تكون فترة تذبذب البندول الرياضي هي:

1. لا يعتمد على كتلته وسعة اهتزازه.
2. يتناسب مع الجذر التربيعي لطول البندول ويتناسب عكسيا مع الجذر التربيعي لتسارع الجاذبية.

وهذا يتوافق مع القوانين التجريبية للتذبذبات الصغيرة للبندول الرياضي، والتي اكتشفها جاليليو.

ونؤكد على أنه يمكن استخدام هذه الصيغة لحساب الفترة إذا تم استيفاء شرطين في وقت واحد:

1. يجب أن تكون اهتزازات البندول صغيرة؛
2. يجب أن تكون نقطة تعليق البندول في حالة سكون أو تتحرك بشكل موحد في خط مستقيم بالنسبة إلى الإطار المرجعي بالقصور الذاتي الذي تقع فيه.

إذا تحركت نقطة تعليق البندول الرياضي بتسارع، فإن قوة شد الخيط تتغير، مما يؤدي إلى تغير في قوة الاستعادة، وبالتالي تردد وفترة الاهتزازات. كما تظهر الحسابات، يمكن حساب فترة تذبذب البندول في هذه الحالة باستخدام الصيغة

أين هو التسارع "الفعال" للبندول في إطار مرجعي غير بالقصور الذاتي. وهو يساوي المجموع الهندسي لتسارع السقوط الحر والمتجه المقابل للمتجه، أي. يمكن حسابها باستخدام الصيغة

البندول الرياضينسمي نقطة مادية معلقة على خيط عديم الوزن وغير قابل للتمدد متصل بالتعليق وتقع في مجال الجاذبية (أو أي قوة أخرى).

دعونا ندرس اهتزازات البندول الرياضي في إطار مرجعي بالقصور الذاتي، بالنسبة إلى نقطة تعليقه التي تكون في حالة سكون أو تتحرك بشكل منتظم في خط مستقيم. سنهمل قوة مقاومة الهواء (البندول الرياضي المثالي). في البداية، يكون البندول في حالة سكون في وضع التوازن C. في هذه الحالة، تكون قوة الجاذبية \(\vec F\) المؤثرة عليه والقوة المرنة \(\vec F_(ynp)\) للخيط متبادلة تعويض.

لنقم بإزالة البندول من موضع التوازن (عن طريق انحرافه، على سبيل المثال، إلى الموضع A) وتحريره بدون سرعة أولية (الشكل 13.11). في هذه الحالة، القوى \(\vec F\) و \(\vec F_(ynp)\) لا توازن بعضها البعض. المكون العرضي للجاذبية \(\vec F_\tau\)، الذي يعمل على البندول، يمنحه تسارعًا عرضيًا \(\vec a_\tau\) (مكون التسارع الإجمالي الموجه على طول المماس لمسار البندول الرياضي )، ويبدأ البندول في التحرك إلى موضع التوازن بسرعة متزايدة في القيمة المطلقة. وبالتالي فإن المكون العرضي للجاذبية \(\vec F_\tau\) هو قوة استعادة. يتم توجيه المكون الطبيعي \(\vec F_n\) لقوة الجاذبية على طول الخيط مقابل القوة المرنة \(\vec F_(ynp)\). محصلة القوى \(\vec F_n\) و \(\vec F_(ynp)\) تضفي التسارع الطبيعي \(~a_n\) على البندول، مما يغير اتجاه ناقل السرعة، ويتحرك البندول على طول القوس ا ب ت ث.

كلما اقترب البندول من موضع التوازن C، أصبحت قيمة المكون العرضي \(~F_\tau = F \sin \alpha\) أصغر. وفي وضع التوازن تساوي الصفر، وتصل السرعة إلى قيمتها القصوى، ويتحرك البندول أكثر بالقصور الذاتي، فيرتفع إلى أعلى على شكل قوس. في هذه الحالة، يتم توجيه المكون \(\vec F_\tau\) ضد السرعة. ومع زيادة زاوية الانحراف a، يزداد معامل القوة \(\vec F_\tau\) ويقل معامل السرعة، وعند النقطة D تصبح سرعة البندول مساوية للصفر. يتوقف البندول للحظة ثم يبدأ بالتحرك في الاتجاه المعاكس لوضعية التوازن. بعد اجتيازه مرة أخرى بالقصور الذاتي ، سيصل البندول ، الذي يتباطأ حركته ، إلى النقطة أ (لا يوجد احتكاك) ، أي. سوف يكمل التأرجح الكامل. بعد ذلك، سيتم تكرار حركة البندول بالتسلسل الموصوف بالفعل.

دعونا نحصل على معادلة تصف التذبذبات الحرة للبندول الرياضي.

دع البندول في لحظة زمنية معينة يكون عند النقطة B. إزاحته S من موضع التوازن في هذه اللحظة تساوي طول القوس SV (أي S = |SV|). دعونا نشير إلى طول خيط التعليق ل، وكتلة البندول هي م.

من الشكل 13.11 يتضح أن \(~F_\tau = F \sin \alpha\)، حيث \(\alpha =\frac(S)(l).\) عند زوايا صغيرة \(~(\alpha<10^\circ)\) отклонения маятника \(\sin \alpha \approx \alpha,\) поэтому

\(F_\tau = -F\frac(S)(l) = -mg\frac(S)(l).\)

يتم وضع علامة الطرح في هذه الصيغة لأن المركبة العرضية للجاذبية موجهة نحو موضع التوازن، ويتم حساب الإزاحة من موضع التوازن.

وفقًا لقانون نيوتن الثاني \(m \vec a = m \vec g + F_(ynp).\) لنسقط الكميات المتجهة لهذه المعادلة على اتجاه المماس لمسار البندول الرياضي

\(~F_\tau = ma_\tau .\)

من هذه المعادلات نحصل عليها

\(a_\tau = -\frac(g)(l)S\) - معادلة ديناميكية لحركة البندول الرياضي. يتناسب التسارع العرضي للبندول الرياضي مع إزاحته ويتجه نحو موضع التوازن. يمكن كتابة هذه المعادلة بالشكل \ . بمقارنتها بمعادلة التذبذبات التوافقية \(~a_x + \omega^2x = 0\) (انظر الفقرة 13.3)، يمكننا أن نستنتج أن البندول الرياضي يؤدي تذبذبات توافقية. وبما أن تذبذبات البندول المدروسة حدثت تحت تأثير القوى الداخلية فقط، فقد كانت هذه تذبذبات حرة للبندول. لذلك، التذبذبات الحرة للبندول الرياضي مع انحرافات صغيرة تكون توافقية.

دعونا نشير إلى \(\frac(g)(l) = \omega^2.\) من حيث \(\omega = \sqrt \frac(g)(l)\) هو التردد الدوري للبندول.

فترة اهتزاز البندول هي \(T = \frac(2 \pi)(\omega).\) لذلك،

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g) )\)

ويسمى هذا التعبير صيغة هيوجينز.يحدد فترة التذبذبات الحرة للبندول الرياضي. يستنتج من الصيغة أنه عند زوايا انحراف صغيرة عن موضع التوازن، فإن فترة تذبذب البندول الرياضي: 1) لا تعتمد على كتلته وسعة التذبذبات؛ 2) يتناسب مع الجذر التربيعي لطول البندول ويتناسب عكسيا مع الجذر التربيعي لتسارع الجاذبية. وهذا يتوافق مع القوانين التجريبية للتذبذبات الصغيرة للبندول الرياضي، والتي اكتشفها جاليليو.

ونؤكد على أنه يمكن استخدام هذه الصيغة لحساب الفترة إذا تم استيفاء شرطين في وقت واحد: 1) يجب أن تكون تذبذبات البندول صغيرة؛ 2) يجب أن تكون نقطة تعليق البندول في حالة سكون أو تتحرك بشكل منتظم في خط مستقيم بالنسبة إلى الإطار المرجعي بالقصور الذاتي الذي تقع فيه.

إذا تحركت نقطة تعليق البندول الرياضي بتسارع \(\vec a\)، فإن قوة شد الخيط تتغير، مما يؤدي إلى تغيير في قوة الاستعادة، وبالتالي، في تردد وفترة التذبذبات. كما تظهر الحسابات، يمكن حساب فترة تذبذب البندول في هذه الحالة باستخدام الصيغة

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g") )\)

حيث \(~g"\) هو التسارع "الفعال" للبندول في إطار مرجعي غير قصوري. وهو يساوي المجموع الهندسي لتسارع الجاذبية \(\vec g\) والمتجه المقابل لـ المتجه \(\vec a\)، أي يمكن حسابه باستخدام الصيغة

\(\vec g" = \vec g + (- \vec a).\)

الأدب

Aksenovich L. A. الفيزياء في المدرسة الثانوية: النظرية. مهام. الاختبارات: كتاب مدرسي. بدل للمؤسسات التي تقدم التعليم العام. البيئة والتعليم / L. A. Aksenovich، N. N. Rakina، K. S. Farino؛ إد. ك.س فارينو. - مليون: Adukatsiya i vyakhavanne، 2004. - ص 374-376.

البندول الرياضي.

البندول الرياضي عبارة عن نقطة مادية معلقة على خيط عديم الوزن غير قابل للتمدد، تؤدي حركة تذبذبية في مستوى رأسي واحد تحت تأثير الجاذبية.

يمكن اعتبار مثل هذا البندول كرة ثقيلة كتلتها m، معلقة على خيط رفيع، طوله l أكبر بكثير من حجم الكرة. إذا انحرف بزاوية α (الشكل 7.3.) من الخط العمودي، فإنه تحت تأثير القوة F، أحد مكونات الوزن P، سوف يتأرجح. أما المكون الآخر الموجه على طول الخيط فلا يؤخذ في الاعتبار لأنه يتوازن مع توتر الخيط. عند زوايا الإزاحة الصغيرة، يمكن قياس الإحداثي x في الاتجاه الأفقي. من الشكل 7.3 يتضح أن مكون الوزن المتعامد مع الخيط يساوي

عزم القوة بالنسبة للنقطة O: وعزم القصور الذاتي:
م = فلوريدا .
لحظة من الجمود جفي هذه الحالة
التسارع الزاوي:

وبأخذ هذه القيم بعين الاعتبار، لدينا:

(7.8)

قراره
,

كما نرى فإن فترة اهتزاز البندول الرياضي تعتمد على طوله وتسارع الجاذبية ولا تعتمد على سعة الاهتزازات.

البندول الجسدي.

البندول الفيزيائي هو جسم صلب مثبت على محور أفقي ثابت (محور التعليق) لا يمر بمركز الثقل، ويتأرجح حول هذا المحور تحت تأثير الجاذبية. وعلى عكس البندول الرياضي، لا يمكن اعتبار كتلة مثل هذا الجسم نقطية.

عند زوايا انحراف صغيرة α (الشكل 7.4)، يؤدي البندول المادي أيضًا تذبذبات توافقية. سنفترض أن وزن البندول الفيزيائي يطبق على مركز ثقله عند النقطة C. والقوة التي تعيد البندول إلى موضع التوازن، في هذه الحالة، ستكون مكونة الجاذبية - القوة F.

تعني علامة الطرح الموجودة على الجانب الأيمن أن القوة F موجهة نحو الزاوية المتناقصة α. مع الأخذ في الاعتبار صغر الزاوية α

لاشتقاق قانون حركة البندولات الرياضية والفيزيائية، نستخدم المعادلة الأساسية لديناميات الحركة الدورانية

عزم القوة: لا يمكن تحديده بشكل صريح. مع الأخذ في الاعتبار جميع الكميات المدرجة في المعادلة التفاضلية الأصلية لتذبذبات البندول الفيزيائي، يكون لها الشكل: